Cálculo Ejemplos

$y^{2} - x^{2} y - 6 x = 0$ , $(2, 6)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 2$ y $y = 6$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y^{2} - x^{2} y - 6 x) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} - x^{2} y - 6 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Paso 1.2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Paso 1.2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Paso 1.2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2} y$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$2 y y' - \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

$2 y y' - (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Paso 1.2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Paso 1.2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Paso 1.2.3.5

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Paso 1.2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Paso 1.2.4.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + 2 y x) - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + 2 y x) - 6 \cdot 1$

Paso 1.2.4.3

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$2 y y' - (x^{2} y' + 2 y x) - 6$

Paso 1.2.5

Simplifica.

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Paso 1.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 y y' - (x^{2} y') - (2 y x) - 6$

Paso 1.2.5.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 y y' - x^{2} y' - 2 y x - 6$

Paso 1.2.5.3

Reordena los términos.

$2 y y' - x^{2} y' - 2 x y - 6$

Paso 1.3

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 y y' - x^{2} y' - 2 x y - 6 = 0$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

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Paso 1.5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.5.1.1

Suma $2 x y$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y y' - x^{2} y' - 6 = 2 x y$

Paso 1.5.1.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y y' - x^{2} y' = 2 x y + 6$

Paso 1.5.2

Factoriza $y'$ de $2 y y' - x^{2} y'$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $y'$ de $2 y y'$ .

$y' (2 y) - x^{2} y' = 2 x y + 6$

Paso 1.5.2.2

Factoriza $y'$ de $- x^{2} y'$ .

$y' (2 y) + y' (- x^{2}) = 2 x y + 6$

Paso 1.5.2.3

Factoriza $y'$ de $y' (2 y) + y' (- x^{2})$ .

$y' (2 y - x^{2}) = 2 x y + 6$

Paso 1.5.3

Divide cada término en $y' (2 y - x^{2}) = 2 x y + 6$ por $2 y - x^{2}$ y simplifica.

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Paso 1.5.3.1

Divide cada término en $y' (2 y - x^{2}) = 2 x y + 6$ por $2 y - x^{2}$ .

$\frac{y' (2 y - x^{2})}{2 y - x^{2}} = \frac{2 x y}{2 y - x^{2}} + \frac{6}{2 y - x^{2}}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $2 y - x^{2}$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (2 y - x^{2})}{2 y - x^{2}} = \frac{2 x y}{2 y - x^{2}} + \frac{6}{2 y - x^{2}}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{2 y - x^{2}} + \frac{6}{2 y - x^{2}}$

Paso 1.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{2 x y + 6}{2 y - x^{2}}$

Paso 1.5.3.3.2

Factoriza $2$ de $2 x y + 6$ .

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Paso 1.5.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $2 x y$ .

$y' = \frac{2 (x y) + 6}{2 y - x^{2}}$

Paso 1.5.3.3.2.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$y' = \frac{2 (x y) + 2 \cdot 3}{2 y - x^{2}}$

Paso 1.5.3.3.2.3

Factoriza $2$ de $2 (x y) + 2 \cdot 3$ .

$y' = \frac{2 (x y + 3)}{2 y - x^{2}}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (x y + 3)}{2 y - x^{2}}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 2$ y $y = 6$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$\frac{2 ((2) \cdot y + 3)}{2 y - {(2)}^{2}}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $6$ en la expresión.

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{2 (6) - {(2)}^{2}}$

Paso 1.7.3

Cancela el factor común de $2$ y $2 (6) - {(2)}^{2}$ .

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Paso 1.7.3.1

Reordena los términos.

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{- {(2)}^{2} + 2 \cdot 6}$

Paso 1.7.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.7.3.2.1

Factoriza $2$ de $- {(2)}^{2}$ .

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{2 (- 1 \cdot 2) + 2 \cdot 6}$

Paso 1.7.3.2.2

Factoriza $2$ de $2 \cdot 6$ .

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{2 (- 1 \cdot 2) + 2 (6)}$

Paso 1.7.3.2.3

Factoriza $2$ de $2 (- 1 \cdot 2) + 2 (6)$ .

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{2 (- 1 \cdot 2 + 6)}$

Paso 1.7.3.2.4

Cancela el factor común.

$\frac{2 ((2) \cdot (6) + 3)}{2 (- 1 \cdot 2 + 6)}$

Paso 1.7.3.2.5

Reescribe la expresión.

$\frac{(2) \cdot (6) + 3}{- 1 \cdot 2 + 6}$

Paso 1.7.4

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.4.1

Multiplica $2$ por $6$ .

$\frac{12 + 3}{- 1 \cdot 2 + 6}$

Paso 1.7.4.2

Suma $12$ y $3$ .

$\frac{15}{- 1 \cdot 2 + 6}$

Paso 1.7.5

Simplifica el denominador.

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Paso 1.7.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{15}{- 2 + 6}$

Paso 1.7.5.2

Suma $- 2$ y $6$ .

$\frac{15}{4}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{15}{4}$ y un punto dado $(2, 6)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = \frac{15}{4} \cdot (x - (2))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 6 = \frac{15}{4} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{15}{4} \cdot (x - 2)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 6 = 0 + 0 + \frac{15}{4} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 6 = \frac{15}{4} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 6 = \frac{15}{4} x + \frac{15}{4} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{15}{4}$ y $x$ .

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15}{4} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15}{2 (2)} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.5.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.5.3

Cancela el factor común.

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.5.4

Reescribe la expresión.

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15}{2} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.6

Combina $\frac{15}{2}$ y $- 1$ .

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{15 \cdot - 1}{2}$

Paso 2.3.1.7

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.1.7.1

Multiplica $15$ por $- 1$ .

$y - 6 = \frac{15 x}{4} + \frac{- 15}{2}$

Paso 2.3.1.7.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - 6 = \frac{15 x}{4} - \frac{15}{2}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{15 x}{4} - \frac{15}{2} + 6$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $6$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{15 x}{4} - \frac{15}{2} + 6 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 2.3.2.3

Combina $6$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{15 x}{4} - \frac{15}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{15 x}{4} + \frac{- 15 + 6 \cdot 2}{2}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$y = \frac{15 x}{4} + \frac{- 15 + 12}{2}$

Paso 2.3.2.5.2

Suma $- 15$ y $12$ .

$y = \frac{15 x}{4} + \frac{- 3}{2}$

Paso 2.3.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{15 x}{4} - \frac{3}{2}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{15}{4} x - \frac{3}{2}$

Paso 3