Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} + x + 1$ at $(- 2, 3)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = - 2$ y $y = 3$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 1 + 0$

Paso 1.5

Suma $2 x + 1$ y $0$ .

$2 x + 1$

Paso 1.6

Evalúa la derivada en $x = - 2$ .

$2 (- 2) + 1$

Paso 1.7

Simplifica.

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Paso 1.7.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$- 4 + 1$

Paso 1.7.2

Suma $- 4$ y $1$ .

$- 3$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- 3$ y un punto dado $(- 2, 3)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = - 3 \cdot (x - (- 2))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 3 = - 3 \cdot (x + 2)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- 3 \cdot (x + 2)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 3 = 0 + 0 - 3 \cdot (x + 2)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 3 = - 3 \cdot (x + 2)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 3 = - 3 x - 3 \cdot 2$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$y - 3 = - 3 x - 6$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - 3 x - 6 + 3$

Paso 2.3.2.2

Suma $- 6$ y $3$ .

$y = - 3 x - 3$

Paso 3