Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{x - 5}$ ; $(4, - 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 4$ y $y = - 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Reescribe $\frac{1}{x - 5}$ como ${(x - 5)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{- 1}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x - 5$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 5]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 5$ .

$- {(x - 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$- {(x - 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- {(x - 5)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Paso 1.3.3

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- {(x - 5)}^{- 2} (1 + 0)$

Paso 1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$- {(x - 5)}^{- 2} \cdot 1$

Paso 1.3.4.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- {(x - 5)}^{- 2}$

Paso 1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

Paso 1.5

Evalúa la derivada en $x = 4$ .

$- \frac{1}{{((4) - 5)}^{2}}$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.6.1.1

Resta $5$ de $4$ .

$- \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Paso 1.6.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{1}{1}$

Paso 1.6.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.6.2.1

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 1.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{1}$

Paso 1.6.2.1.2

Reescribe la expresión.

$- 1 \cdot 1$

Paso 1.6.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- 1$ y un punto dado $(4, - 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = - 1 \cdot (x - (4))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 1 = - 1 \cdot (x - 4)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- 1 \cdot (x - 4)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y + 1 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 4)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y + 1 = - 1 \cdot (x - 4)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 1 = - 1 x - 1 \cdot - 4$

Paso 2.3.1.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.1.4.1

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y + 1 = - x - 1 \cdot - 4$

Paso 2.3.1.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$y + 1 = - x + 4$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - x + 4 - 1$

Paso 2.3.2.2

Resta $1$ de $4$ .

$y = - x + 3$

Paso 3