Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{2}}{3 + x}$ , $(1, \frac{1}{4})$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = \frac{1}{4}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 3 + x$ .

$\frac{(3 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(3 + x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Paso 1.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $3 + x$ .

$\frac{2 \cdot (3 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Paso 1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $3 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (3 + x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 + x)}^{2}}$

Paso 1.2.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (3 + x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 + x)}^{2}}$

Paso 1.2.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (3 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Paso 1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (3 + x) x - x^{2} \cdot 1}{{(3 + x)}^{2}}$

Paso 1.2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (3 + x) x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 \cdot 3 + 2 x) x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \cdot 3 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{6 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{6 x + 2 (x \cdot x) - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{6 x + 2 x^{2} - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Paso 1.3.3.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{6 x + x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Paso 1.3.4

Reordena los términos.

$\frac{x^{2} + 6 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 1.3.5

Factoriza $x$ de $x^{2} + 6 x$ .

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Paso 1.3.5.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 6 x}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 1.3.5.2

Factoriza $x$ de $6 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 6}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 1.3.5.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 6$ .

$\frac{x (x + 6)}{{(x + 3)}^{2}}$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$\frac{(1) ((1) + 6)}{{((1) + 3)}^{2}}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $1 + 6$ por $1$ .

$\frac{1 + 6}{{(1 + 3)}^{2}}$

Paso 1.5.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.5.2.1

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{1 + 6}{4^{2}}$

Paso 1.5.2.2

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1 + 6}{16}$

Paso 1.5.3

Suma $1$ y $6$ .

$\frac{7}{16}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{7}{16}$ y un punto dado $(1, \frac{1}{4})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{4}) = \frac{7}{16} \cdot (x - (1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{1}{4} = \frac{7}{16} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{7}{16} \cdot (x - 1)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - \frac{1}{4} = 0 + 0 + \frac{7}{16} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - \frac{1}{4} = \frac{7}{16} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{1}{4} = \frac{7}{16} x + \frac{7}{16} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{7}{16}$ y $x$ .

$y - \frac{1}{4} = \frac{7 x}{16} + \frac{7}{16} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $\frac{7}{16} \cdot - 1$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Combina $\frac{7}{16}$ y $- 1$ .

$y - \frac{1}{4} = \frac{7 x}{16} + \frac{7 \cdot - 1}{16}$

Paso 2.3.1.5.2

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$y - \frac{1}{4} = \frac{7 x}{16} + \frac{- 7}{16}$

Paso 2.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - \frac{1}{4} = \frac{7 x}{16} - \frac{7}{16}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $\frac{1}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{7 x}{16} - \frac{7}{16} + \frac{1}{4}$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $\frac{1}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{7 x}{16} - \frac{7}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 2.3.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $16$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{7 x}{16} - \frac{7}{16} + \frac{4}{4 \cdot 4}$

Paso 2.3.2.3.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$y = \frac{7 x}{16} - \frac{7}{16} + \frac{4}{16}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{7 x}{16} + \frac{- 7 + 4}{16}$

Paso 2.3.2.5

Suma $- 7$ y $4$ .

$y = \frac{7 x}{16} + \frac{- 3}{16}$

Paso 2.3.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{7 x}{16} - \frac{3}{16}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{7}{16} x - \frac{3}{16}$

Paso 3