Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ , $(1, 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1.1

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Paso 1.1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 1.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Paso 1.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$- 2 x^{- 3}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 1.3.2

Combina los términos.

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Paso 1.3.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2}{x^{3}}$

Paso 1.3.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{x^{3}}$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$- \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{2}{1}$

Paso 1.5.2

Divide $2$ por $1$ .

$- 1 \cdot 2$

Paso 1.5.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- 2$ y un punto dado $(1, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 2 \cdot (x - (1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = - 2 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- 2 \cdot (x - 1)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 1 = 0 + 0 - 2 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 1 = - 2 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 1 = - 2 x - 2 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$y - 1 = - 2 x + 2$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - 2 x + 2 + 1$

Paso 2.3.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$y = - 2 x + 3$

Paso 3