Cálculo Ejemplos

$y = \frac{e^{6 x}}{x}$ , $(\frac{1}{6}, 6 e)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = \frac{1}{6}$ y $y = 6 e$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = e^{6 x}$ y $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{6 x}] - e^{6 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 6 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $6 x$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{x (e^{u} \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 x$ .

$\frac{x (e^{6 x} \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.3

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x])) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x (e^{6 x} (6 \cdot 1)) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.3.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.3.1

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{x (e^{6 x} \cdot 6) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.3.3.2

Mueve $6$ a la izquierda de $e^{6 x}$ .

$\frac{x (6 \cdot e^{6 x}) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x (6 e^{6 x}) - e^{6 x} \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 1.3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x (6 e^{6 x}) - e^{6 x}}{x^{2}}$

Paso 1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{6 x e^{6 x} - e^{6 x}}{x^{2}}$

Paso 1.4.2

Reordena los términos.

$\frac{6 e^{6 x} x - e^{6 x}}{x^{2}}$

Paso 1.4.3

Factoriza $e^{6 x}$ de $6 e^{6 x} x - e^{6 x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.3.1

Factoriza $e^{6 x}$ de $6 e^{6 x} x$ .

$\frac{e^{6 x} (6 x) - e^{6 x}}{x^{2}}$

Paso 1.4.3.2

Factoriza $e^{6 x}$ de $- e^{6 x}$ .

$\frac{e^{6 x} (6 x) + e^{6 x} \cdot - 1}{x^{2}}$

Paso 1.4.3.3

Factoriza $e^{6 x}$ de $e^{6 x} (6 x) + e^{6 x} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{6 x} (6 x - 1)}{x^{2}}$

Paso 1.5

Evalúa la derivada en $x = \frac{1}{6}$ .

$\frac{e^{6 (\frac{1}{6})} (6 (\frac{1}{6}) - 1)}{{(\frac{1}{6})}^{2}}$

Paso 1.6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.1.1

Cancela el factor común de $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{6 (\frac{1}{6})} (6 (\frac{1}{6}) - 1)}{{(\frac{1}{6})}^{2}}$

Paso 1.6.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{6 (\frac{1}{6})} (1 - 1)}{{(\frac{1}{6})}^{2}}$

Paso 1.6.1.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{e^{6 (\frac{1}{6})} \cdot 0}{{(\frac{1}{6})}^{2}}$

Paso 1.6.1.3

Cancela el factor común de $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{6 (\frac{1}{6})} \cdot 0}{{(\frac{1}{6})}^{2}}$

Paso 1.6.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{1} \cdot 0}{{(\frac{1}{6})}^{2}}$

Paso 1.6.1.4

Simplifica.

$\frac{e \cdot 0}{{(\frac{1}{6})}^{2}}$

Paso 1.6.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.6.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{6}$ .

$\frac{e \cdot 0}{\frac{1^{2}}{6^{2}}}$

Paso 1.6.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{e \cdot 0}{\frac{1}{6^{2}}}$

Paso 1.6.2.3

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{e \cdot 0}{\frac{1}{36}}$

Paso 1.6.3

Multiplica $e$ por $0$ .

$\frac{0}{\frac{1}{36}}$

Paso 1.6.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$0 \cdot 36$

Paso 1.6.5

Multiplica $0$ por $36$ .

$0$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Usa la pendiente $0$ y un punto dado $(\frac{1}{6}, 6 e)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6 e) = 0 \cdot (x - (\frac{1}{6}))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 6 e = 0 \cdot (x - \frac{1}{6})$

Paso 2.3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Multiplica $0$ por $x - \frac{1}{6}$ .

$y - 6 e = 0$

Paso 2.3.2

Suma $6 e$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 6 e$

Paso 3