Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(5 x + 1)}^{2}$ ;, $(0, 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 0$ y $y = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Reescribe ${(5 x + 1)}^{2}$ como $(5 x + 1) (5 x + 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(5 x + 1) (5 x + 1)]$

Paso 1.2

Expande $(5 x + 1) (5 x + 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [5 x (5 x + 1) + 1 (5 x + 1)]$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [5 x (5 x) + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x + 1)]$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [5 x (5 x) + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d}{d x} [5 \cdot 5 x \cdot x + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cdot 5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Paso 1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cdot 5 x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x \cdot 1 + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Paso 1.3.1.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x + 1 (5 x) + 1 \cdot 1]$

Paso 1.3.1.5

Multiplica $5 x$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x + 5 x + 1 \cdot 1]$

Paso 1.3.1.6

Multiplica $1$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x + 5 x + 1]$

Paso 1.3.2

Suma $5 x$ y $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 10 x + 1]$

Paso 1.4

Según la regla de la suma, la derivada de $25 x^{2} + 10 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.5

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25 x^{2}$ con respecto a $x$ es $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$25 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$25 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.7

Multiplica $2$ por $25$ .

$50 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.8

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 x$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$50 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$50 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.10

Multiplica $10$ por $1$ .

$50 x + 10 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.11

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$50 x + 10 + 0$

Paso 1.12

Suma $50 x + 10$ y $0$ .

$50 x + 10$

Paso 1.13

Evalúa la derivada en $x = 0$ .

$50 (0) + 10$

Paso 1.14

Simplifica.

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Paso 1.14.1

Multiplica $50$ por $0$ .

$0 + 10$

Paso 1.14.2

Suma $0$ y $10$ .

$10$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $10$ y un punto dado $(0, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 10 \cdot (x - (0))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = 10 \cdot (x + 0)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Suma $x$ y $0$ .

$y - 1 = 10 x$

Paso 2.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 10 x + 1$

Paso 3