Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{7 x}$ at $(7, 7)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 7$ y $y = 7$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7 x}$ como ${(7 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(7 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.1.2

Factoriza $7$ de $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(7 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.1.3

Aplica la regla del producto a $7 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [7^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

Como $7^{\frac{1}{2}}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $7^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$7^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 1.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$7^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 1.10

Combina $7^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{7^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 1.11

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.12

Evalúa la derivada en $x = 7$ .

$\frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 {(7)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.13

Simplifica.

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Paso 1.13.1

Cancela el factor común.

$\frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 {(7)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.13.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{1}{2}$ y un punto dado $(7, 7)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (7) = \frac{1}{2} \cdot (x - (7))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 7 = \frac{1}{2} \cdot (x - 7)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{1}{2} \cdot (x - 7)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 7 = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot (x - 7)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 7 = \frac{1}{2} \cdot (x - 7)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 7 = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot - 7$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$y - 7 = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 7$

Paso 2.3.1.5

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 7$ .

$y - 7 = \frac{x}{2} + \frac{- 7}{2}$

Paso 2.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - 7 = \frac{x}{2} - \frac{7}{2}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{x}{2} - \frac{7}{2} + 7$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $7$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{7}{2} + 7 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 2.3.2.3

Combina $7$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{7}{2} + \frac{7 \cdot 2}{2}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x}{2} + \frac{- 7 + 7 \cdot 2}{2}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $7$ por $2$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{- 7 + 14}{2}$

Paso 2.3.2.5.2

Suma $- 7$ y $14$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{7}{2}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{2} x + \frac{7}{2}$

Paso 3