Cálculo Ejemplos

$f (x) = \ln^{2} (x)$ at $x = 2$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = 2$ .

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Paso 1.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$y = \ln ({(2)}^{2})$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = \ln (2^{2})$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = \ln ({(2)}^{2})$

Paso 1.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \ln (4)$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 2$ y $y = \ln (4)$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = {(x)}^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como ${(x)}^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [{(x)}^{2}]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [{(x)}^{2}]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con ${(x)}^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (2 x)$

Paso 2.2.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.2.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{2}} x$

Paso 2.2.2.2

Combina $\frac{2}{x^{2}}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2}}$

Paso 2.2.2.3

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 2.2.2.3.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$\frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Paso 2.2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Paso 2.2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Paso 2.2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{x}$

Paso 2.3

Evalúa la derivada en $x = 2$ .

$\frac{2}{2}$

Paso 2.4

Divide $2$ por $2$ .

$1$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $1$ y un punto dado $(2, \ln (4))$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\ln (4)) = 1 \cdot (x - (2))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \ln (4) = 1 \cdot (x - 2)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Multiplica $x - 2$ por $1$ .

$y - \ln (4) = x - 2$

Paso 3.3.2

Suma $\ln (4)$ a ambos lados de la ecuación.

$y = x - 2 + \ln (4)$

Paso 4