Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{2}}{4 + x}$ , $(1, \frac{1}{5})$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = \frac{1}{5}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 4 + x$ .

$\frac{(4 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(4 + x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Paso 1.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $4 + x$ .

$\frac{2 \cdot (4 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Paso 1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $4 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (4 + x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x])}{{(4 + x)}^{2}}$

Paso 1.2.4

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2 (4 + x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(4 + x)}^{2}}$

Paso 1.2.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (4 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Paso 1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 (4 + x) x - x^{2} \cdot 1}{{(4 + x)}^{2}}$

Paso 1.2.7

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (4 + x) x - x^{2}}{{(4 + x)}^{2}}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 \cdot 4 + 2 x) x - x^{2}}{{(4 + x)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \cdot 4 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(4 + x)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.3.1.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{8 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(4 + x)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{8 x + 2 (x \cdot x) - x^{2}}{{(4 + x)}^{2}}$

Paso 1.3.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{8 x + 2 x^{2} - x^{2}}{{(4 + x)}^{2}}$

Paso 1.3.3.2

Resta $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{8 x + x^{2}}{{(4 + x)}^{2}}$

Paso 1.3.4

Reordena los términos.

$\frac{x^{2} + 8 x}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 1.3.5

Factoriza $x$ de $x^{2} + 8 x$ .

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Paso 1.3.5.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 8 x}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 1.3.5.2

Factoriza $x$ de $8 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 8}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 1.3.5.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot 8$ .

$\frac{x (x + 8)}{{(x + 4)}^{2}}$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$\frac{(1) ((1) + 8)}{{((1) + 4)}^{2}}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $1 + 8$ por $1$ .

$\frac{1 + 8}{{(1 + 4)}^{2}}$

Paso 1.5.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.5.2.1

Suma $1$ y $4$ .

$\frac{1 + 8}{5^{2}}$

Paso 1.5.2.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1 + 8}{25}$

Paso 1.5.3

Suma $1$ y $8$ .

$\frac{9}{25}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{9}{25}$ y un punto dado $(1, \frac{1}{5})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{5}) = \frac{9}{25} \cdot (x - (1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{1}{5} = \frac{9}{25} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{9}{25} \cdot (x - 1)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - \frac{1}{5} = 0 + 0 + \frac{9}{25} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - \frac{1}{5} = \frac{9}{25} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{1}{5} = \frac{9}{25} x + \frac{9}{25} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{9}{25}$ y $x$ .

$y - \frac{1}{5} = \frac{9 x}{25} + \frac{9}{25} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $\frac{9}{25} \cdot - 1$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Combina $\frac{9}{25}$ y $- 1$ .

$y - \frac{1}{5} = \frac{9 x}{25} + \frac{9 \cdot - 1}{25}$

Paso 2.3.1.5.2

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$y - \frac{1}{5} = \frac{9 x}{25} + \frac{- 9}{25}$

Paso 2.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - \frac{1}{5} = \frac{9 x}{25} - \frac{9}{25}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $\frac{1}{5}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{9 x}{25} - \frac{9}{25} + \frac{1}{5}$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $\frac{1}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{9 x}{25} - \frac{9}{25} + \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{5}$

Paso 2.3.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $25$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{9 x}{25} - \frac{9}{25} + \frac{5}{5 \cdot 5}$

Paso 2.3.2.3.2

Multiplica $5$ por $5$ .

$y = \frac{9 x}{25} - \frac{9}{25} + \frac{5}{25}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{9 x}{25} + \frac{- 9 + 5}{25}$

Paso 2.3.2.5

Suma $- 9$ y $5$ .

$y = \frac{9 x}{25} + \frac{- 4}{25}$

Paso 2.3.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{9 x}{25} - \frac{4}{25}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{9}{25} x - \frac{4}{25}$

Paso 3