Cálculo Ejemplos

$f (x) = x \sin (10 x)$ at $x = π$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = π$ .

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Paso 1.1

Sustituye $π$ por $x$ .

$y = (π) \sin (10 (π))$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Multiplica $10$ por $π$ .

$y = π \sin (10 π)$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = (π) \sin (10 (π))$

Paso 1.2.3

Simplifica $(π) \sin (10 (π))$ .

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Paso 1.2.3.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$y = π \sin (0)$

Paso 1.2.3.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$y = π \cdot 0$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $π$ por $0$ .

$y = 0$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = π$ y $y = 0$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \sin (10 x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (10 x)] + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 10 x$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $10 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [10 x]) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$x (\cos (u) \frac{d}{d x} [10 x]) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $10 x$ .

$x (\cos (10 x) \frac{d}{d x} [10 x]) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Como $10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $10 x$ con respecto a $x$ es $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (\cos (10 x) (10 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (\cos (10 x) (10 \cdot 1)) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $10$ por $1$ .

$x (\cos (10 x) \cdot 10) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.3.2

Mueve $10$ a la izquierda de $\cos (10 x)$ .

$x (10 \cdot \cos (10 x)) + \sin (10 x) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (10 \cos (10 x)) + \sin (10 x) \cdot 1$

Paso 2.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.5.1

Multiplica $\sin (10 x)$ por $1$ .

$x (10 \cos (10 x)) + \sin (10 x)$

Paso 2.3.5.2

Reordena los términos.

$10 x \cos (10 x) + \sin (10 x)$

Paso 2.4

Evalúa la derivada en $x = π$ .

$10 (π) \cos (10 (π)) + \sin (10 (π))$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$10 π \cos (0) + \sin (10 (π))$

Paso 2.5.1.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$10 π \cdot 1 + \sin (10 (π))$

Paso 2.5.1.3

Multiplica $10$ por $1$ .

$10 π + \sin (10 (π))$

Paso 2.5.1.4

Resta las rotaciones completas de $2 π$ hasta que el ángulo sea mayor o igual que $0$ y menor que $2 π$ .

$10 π + \sin (0)$

Paso 2.5.1.5

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$10 π + 0$

Paso 2.5.2

Suma $10 π$ y $0$ .

$10 π$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $10 π$ y un punto dado $(π, 0)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 10 π \cdot (x - (π))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 0 = 10 π \cdot (x - π)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Suma $y$ y $0$ .

$y = 10 π \cdot (x - π)$

Paso 3.3.2

Simplifica $10 π \cdot (x - π)$ .

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Paso 3.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 10 π x + 10 π (- π)$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $10 π (- π)$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$y = 10 π x - 10 π π$

Paso 3.3.2.2.2

Eleva $π$ a la potencia de $1$ .

$y = 10 π x - 10 (π^{1} π)$

Paso 3.3.2.2.3

Eleva $π$ a la potencia de $1$ .

$y = 10 π x - 10 (π^{1} π^{1})$

Paso 3.3.2.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = 10 π x - 10 π^{1 + 1}$

Paso 3.3.2.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$y = 10 π x - 10 π^{2}$

Paso 4