Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{5 x + 39}$ , $(5, 8)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 5$ y $y = 8$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5 x + 39}$ como ${(5 x + 39)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(5 x + 39)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 5 x + 39$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $5 x + 39$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x + 39]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 39]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x + 39$ .

$\frac{1}{2} {(5 x + 39)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 39]$

Paso 1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(5 x + 39)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 39]$

Paso 1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(5 x + 39)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 39]$

Paso 1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(5 x + 39)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 39]$

Paso 1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(5 x + 39)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 39]$

Paso 1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(5 x + 39)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 39]$

Paso 1.7

Combina fracciones.

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Paso 1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(5 x + 39)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 39]$

Paso 1.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(5 x + 39)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(5 x + 39)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 x + 39]$

Paso 1.7.3

Mueve ${(5 x + 39)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 39)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 39]$

Paso 1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x + 39$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [39]$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 39)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [39])$

Paso 1.9

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 39)}^{\frac{1}{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [39])$

Paso 1.10

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 39)}^{\frac{1}{2}}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [39])$

Paso 1.11

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 39)}^{\frac{1}{2}}} (5 + \frac{d}{d x} [39])$

Paso 1.12

Como $39$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $39$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 39)}^{\frac{1}{2}}} (5 + 0)$

Paso 1.13

Combina fracciones.

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Paso 1.13.1

Suma $5$ y $0$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 39)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 5$

Paso 1.13.2

Combina $\frac{1}{2 {(5 x + 39)}^{\frac{1}{2}}}$ y $5$ .

$\frac{5}{2 {(5 x + 39)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.14

Evalúa la derivada en $x = 5$ .

$\frac{5}{2 {(5 (5) + 39)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.15

Simplifica.

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Paso 1.15.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.15.1.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{5}{2 {(25 + 39)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.15.1.2

Suma $25$ y $39$ .

$\frac{5}{2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.15.1.3

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$\frac{5}{2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.15.1.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 1.15.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.15.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{5}{2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 1.15.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{5}{2 \cdot 8^{1}}$

Paso 1.15.1.6

Evalúa el exponente.

$\frac{5}{2 \cdot 8}$

Paso 1.15.2

Multiplica $2$ por $8$ .

$\frac{5}{16}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{5}{16}$ y un punto dado $(5, 8)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = \frac{5}{16} \cdot (x - (5))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 8 = \frac{5}{16} \cdot (x - 5)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{5}{16} \cdot (x - 5)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 8 = 0 + 0 + \frac{5}{16} \cdot (x - 5)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 8 = \frac{5}{16} \cdot (x - 5)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 8 = \frac{5}{16} x + \frac{5}{16} \cdot - 5$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{5}{16}$ y $x$ .

$y - 8 = \frac{5 x}{16} + \frac{5}{16} \cdot - 5$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $\frac{5}{16} \cdot - 5$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Combina $\frac{5}{16}$ y $- 5$ .

$y - 8 = \frac{5 x}{16} + \frac{5 \cdot - 5}{16}$

Paso 2.3.1.5.2

Multiplica $5$ por $- 5$ .

$y - 8 = \frac{5 x}{16} + \frac{- 25}{16}$

Paso 2.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - 8 = \frac{5 x}{16} - \frac{25}{16}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{5 x}{16} - \frac{25}{16} + 8$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{16}{16}$ .

$y = \frac{5 x}{16} - \frac{25}{16} + 8 \cdot \frac{16}{16}$

Paso 2.3.2.3

Combina $8$ y $\frac{16}{16}$ .

$y = \frac{5 x}{16} - \frac{25}{16} + \frac{8 \cdot 16}{16}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{5 x}{16} + \frac{- 25 + 8 \cdot 16}{16}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $8$ por $16$ .

$y = \frac{5 x}{16} + \frac{- 25 + 128}{16}$

Paso 2.3.2.5.2

Suma $- 25$ y $128$ .

$y = \frac{5 x}{16} + \frac{103}{16}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{5}{16} x + \frac{103}{16}$

Paso 3