Cálculo Ejemplos

${(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 37$ , $(4, 4)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 4$ y $y = 4$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2}) = \frac{d}{d x} (37)$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Reescribe ${(x + 2)}^{2}$ como $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 2) + {(y - 3)}^{2}]$

Paso 1.2.2

Expande $(x + 2) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (x + 2) + 2 (x + 2) + {(y - 3)}^{2}]$

Paso 1.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2) + {(y - 3)}^{2}]$

Paso 1.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + {(y - 3)}^{2}]$

Paso 1.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + {(y - 3)}^{2}]$

Paso 1.2.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2 + {(y - 3)}^{2}]$

Paso 1.2.3.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 2 x + 4 + {(y - 3)}^{2}]$

Paso 1.2.3.2

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + {(y - 3)}^{2}]$

Paso 1.2.4

Reescribe ${(y - 3)}^{2}$ como $(y - 3) (y - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + (y - 3) (y - 3)]$

Paso 1.2.5

Expande $(y - 3) (y - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y (y - 3) - 3 (y - 3)]$

Paso 1.2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 (y - 3)]$

Paso 1.2.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Paso 1.2.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.6.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Paso 1.2.6.1.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 3 \cdot y - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Paso 1.2.6.1.3

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 3 y - 3 y + 9]$

Paso 1.2.6.2

Resta $3 y$ de $- 3 y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 6 y + 9]$

Paso 1.2.7

Diferencia.

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Paso 1.2.7.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 6 y + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.2.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.2.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 1.2.8.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.2.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.2.8.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$2 x + 4 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.2.9

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 4 + 0 + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.2.10

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Paso 1.2.10.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.2.10.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$2 x + 4 + 0 + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.2.10.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.2.10.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.2.10.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.2.11

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 y]$ .

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Paso 1.2.11.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 y$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' - 6 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.2.11.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' - 6 y' + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 1.2.12

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' - 6 y' + 0$

Paso 1.2.13

Simplifica.

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Paso 1.2.13.1

Combina los términos.

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Paso 1.2.13.1.1

Suma $2 x + 4$ y $0$ .

$2 x + 4 + 2 y y' - 6 y' + 0$

Paso 1.2.13.1.2

Suma $2 x + 4 + 2 y y' - 6 y'$ y $0$ .

$2 x + 4 + 2 y y' - 6 y'$

Paso 1.2.13.2

Reordena los términos.

$2 y y' + 2 x + 4 - 6 y'$

Paso 1.3

Como $37$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $37$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 y y' + 2 x + 4 - 6 y' = 0$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

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Paso 1.5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.5.1.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y y' + 4 - 6 y' = - 2 x$

Paso 1.5.1.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y y' - 6 y' = - 2 x - 4$

Paso 1.5.2

Factoriza $2 y'$ de $2 y y' - 6 y'$ .

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Paso 1.5.2.1

Factoriza $2 y'$ de $2 y y'$ .

$2 y' y - 6 y' = - 2 x - 4$

Paso 1.5.2.2

Factoriza $2 y'$ de $- 6 y'$ .

$2 y' y + 2 y' \cdot - 3 = - 2 x - 4$

Paso 1.5.2.3

Factoriza $2 y'$ de $2 y' y + 2 y' \cdot - 3$ .

$2 y' (y - 3) = - 2 x - 4$

Paso 1.5.3

Divide cada término en $2 y' (y - 3) = - 2 x - 4$ por $2 (y - 3)$ y simplifica.

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Paso 1.5.3.1

Divide cada término en $2 y' (y - 3) = - 2 x - 4$ por $2 (y - 3)$ .

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Paso 1.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Paso 1.5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Paso 1.5.3.2.2

Cancela el factor común de $y - 3$ .

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Paso 1.5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Paso 1.5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Paso 1.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 1.5.3.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Paso 1.5.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Paso 1.5.3.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- x}{y - 3} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Paso 1.5.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Paso 1.5.3.3.1.3

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 1.5.3.3.1.3.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (y - 3)}$

Paso 1.5.3.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.3.3.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (y - 3)}$

Paso 1.5.3.3.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{- 2}{y - 3}$

Paso 1.5.3.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{x}{y - 3} - \frac{2}{y - 3}$

Paso 1.5.3.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 1.5.3.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- x - 2}{y - 3}$

Paso 1.5.3.3.2.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{- (x) - 2}{y - 3}$

Paso 1.5.3.3.2.3

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$y' = \frac{- (x) - 1 (2)}{y - 3}$

Paso 1.5.3.3.2.4

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (2)$ .

$y' = \frac{- (x + 2)}{y - 3}$

Paso 1.5.3.3.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 1.5.3.3.2.5.1

Reescribe $- (x + 2)$ como $- 1 (x + 2)$ .

$y' = \frac{- 1 (x + 2)}{y - 3}$

Paso 1.5.3.3.2.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{x + 2}{y - 3}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + 2}{y - 3}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 4$ y $y = 4$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$- \frac{(4) + 2}{y - 3}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $4$ en la expresión.

$- \frac{(4) + 2}{(4) - 3}$

Paso 1.7.3

Suma $4$ y $2$ .

$- \frac{6}{4 - 3}$

Paso 1.7.4

Resta $3$ de $4$ .

$- \frac{6}{1}$

Paso 1.7.5

Divide $6$ por $1$ .

$- 1 \cdot 6$

Paso 1.7.6

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$- 6$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- 6$ y un punto dado $(4, 4)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = - 6 \cdot (x - (4))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 4 = - 6 \cdot (x - 4)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- 6 \cdot (x - 4)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 4 = 0 + 0 - 6 \cdot (x - 4)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 4 = - 6 \cdot (x - 4)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 4 = - 6 x - 6 \cdot - 4$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $- 6$ por $- 4$ .

$y - 4 = - 6 x + 24$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - 6 x + 24 + 4$

Paso 2.3.2.2

Suma $24$ y $4$ .

$y = - 6 x + 28$

Paso 3