Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{2 x^{3}}$ , $(2, \frac{1}{16})$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 2$ y $y = \frac{1}{16}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2 x^{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Paso 1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Paso 1.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Paso 1.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$\frac{1}{2} (- 3 x^{- 4})$

Paso 1.4

Combina fracciones.

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Paso 1.4.1

Combina $- 3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 3}{2} x^{- 4}$

Paso 1.4.2

Combina $\frac{- 3}{2}$ y $x^{- 4}$ .

$\frac{- 3 x^{- 4}}{2}$

Paso 1.4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.4.3.1

Mueve $x^{- 4}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{2 x^{4}}$

Paso 1.4.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{2 x^{4}}$

Paso 1.5

Evalúa la derivada en $x = 2$ .

$- \frac{3}{2 {(2)}^{4}}$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Multiplica $2$ por ${(2)}^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.6.1.1

Multiplica $2$ por ${(2)}^{4}$ .

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Paso 1.6.1.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{3}{2^{1} {(2)}^{4}}$

Paso 1.6.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{3}{2^{1 + 4}}$

Paso 1.6.1.2

Suma $1$ y $4$ .

$- \frac{3}{2^{5}}$

Paso 1.6.2

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$- \frac{3}{32}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- \frac{3}{32}$ y un punto dado $(2, \frac{1}{16})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{16}) = - \frac{3}{32} \cdot (x - (2))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{1}{16} = - \frac{3}{32} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- \frac{3}{32} \cdot (x - 2)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - \frac{1}{16} = 0 + 0 - \frac{3}{32} \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{1}{16} = - \frac{3}{32} x - \frac{3}{32} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.2.2

Combina $x$ y $\frac{3}{32}$ .

$y - \frac{1}{16} = - \frac{x \cdot 3}{32} - \frac{3}{32} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.2.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{32}$ al numerador.

$y - \frac{1}{16} = - \frac{x \cdot 3}{32} + \frac{- 3}{32} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.2.3.2

Factoriza $2$ de $32$ .

$y - \frac{1}{16} = - \frac{x \cdot 3}{32} + \frac{- 3}{2 (16)} \cdot - 2$

Paso 2.3.1.2.3.3

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$y - \frac{1}{16} = - \frac{x \cdot 3}{32} + \frac{- 3}{2 \cdot 16} \cdot (2 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.2.3.4

Cancela el factor común.

$y - \frac{1}{16} = - \frac{x \cdot 3}{32} + \frac{- 3}{2 \cdot 16} \cdot (2 \cdot - 1)$

Paso 2.3.1.2.3.5

Reescribe la expresión.

$y - \frac{1}{16} = - \frac{x \cdot 3}{32} + \frac{- 3}{16} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.2.4

Combina $\frac{- 3}{16}$ y $- 1$ .

$y - \frac{1}{16} = - \frac{x \cdot 3}{32} + \frac{- 3 \cdot - 1}{16}$

Paso 2.3.1.2.5

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$y - \frac{1}{16} = - \frac{x \cdot 3}{32} + \frac{3}{16}$

Paso 2.3.1.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$y - \frac{1}{16} = - \frac{3 x}{32} + \frac{3}{16}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $\frac{1}{16}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{3 x}{32} + \frac{3}{16} + \frac{1}{16}$

Paso 2.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- 3 x}{32} + \frac{3 + 1}{16}$

Paso 2.3.2.3

Suma $3$ y $1$ .

$y = \frac{- 3 x}{32} + \frac{4}{16}$

Paso 2.3.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{3 x}{32} + \frac{4}{16}$

Paso 2.3.2.4.2

Cancela el factor común de $4$ y $16$ .

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Paso 2.3.2.4.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$y = - \frac{3 x}{32} + \frac{4 (1)}{16}$

Paso 2.3.2.4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.4.2.2.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$y = - \frac{3 x}{32} + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Paso 2.3.2.4.2.2.2

Cancela el factor común.

$y = - \frac{3 x}{32} + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Paso 2.3.2.4.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{3 x}{32} + \frac{1}{4}$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{3}{32} x) + \frac{1}{4}$

Paso 2.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{3}{32} x + \frac{1}{4}$

Paso 3