Cálculo Ejemplos

$y = \sqrt{2 x}$ at $(32, 8)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 32$ y $y = 8$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2 x}$ como ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.1.2

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.1.3

Aplica la regla del producto a $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

Como $2^{\frac{1}{2}}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Paso 1.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Paso 1.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Paso 1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Paso 1.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Paso 1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Paso 1.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 1.10

Combina $2^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 1.11

Simplifica la expresión.

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Paso 1.11.1

Mueve $2^{\frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Paso 1.11.2

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.12

Multiplica $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.12.1

Multiplica $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.12.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.12.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.12.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.12.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.12.4

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.13

Evalúa la derivada en $x = 32$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} {(32)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.14

Simplifica.

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Paso 1.14.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.14.1.1

Reescribe $32$ como $2^{5}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot {(2^{5})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.14.1.2

Multiplica los exponentes en ${(2^{5})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.14.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{5 (\frac{1}{2})}}$

Paso 1.14.1.2.2

Combina $5$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{5}{2}}}$

Paso 1.14.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2} + \frac{5}{2}}}$

Paso 1.14.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2^{\frac{1 + 5}{2}}}$

Paso 1.14.1.5

Suma $1$ y $5$ .

$\frac{1}{2^{\frac{6}{2}}}$

Paso 1.14.1.6

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 1.14.1.6.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 3}{2}}}$

Paso 1.14.1.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.14.1.6.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}}$

Paso 1.14.1.6.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}}$

Paso 1.14.1.6.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2^{\frac{3}{1}}}$

Paso 1.14.1.6.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$\frac{1}{2^{3}}$

Paso 1.14.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{8}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{1}{8}$ y un punto dado $(32, 8)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = \frac{1}{8} \cdot (x - (32))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 8 = \frac{1}{8} \cdot (x - 32)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{1}{8} \cdot (x - 32)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 8 = 0 + 0 + \frac{1}{8} \cdot (x - 32)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 8 = \frac{1}{8} \cdot (x - 32)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 8 = \frac{1}{8} x + \frac{1}{8} \cdot - 32$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{1}{8}$ y $x$ .

$y - 8 = \frac{x}{8} + \frac{1}{8} \cdot - 32$

Paso 2.3.1.5

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Factoriza $8$ de $- 32$ .

$y - 8 = \frac{x}{8} + \frac{1}{8} \cdot (8 (- 4))$

Paso 2.3.1.5.2

Cancela el factor común.

$y - 8 = \frac{x}{8} + \frac{1}{8} \cdot (8 \cdot - 4)$

Paso 2.3.1.5.3

Reescribe la expresión.

$y - 8 = \frac{x}{8} - 4$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{x}{8} - 4 + 8$

Paso 2.3.2.2

Suma $- 4$ y $8$ .

$y = \frac{x}{8} + 4$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{8} x + 4$

Paso 3