Cálculo Ejemplos

$f (x) = e^{x^{2} - 1}$ at $x = 1$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = 1$ .

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Paso 1.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$y = e^{{(1)}^{2} - 1}$

Paso 1.2

Simplifica $e^{{(1)}^{2} - 1}$ .

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Paso 1.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = e^{1 - 1}$

Paso 1.2.2

Resta $1$ de $1$ .

$y = e^{0}$

Paso 1.2.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$y = 1$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 1$ .

$e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$e^{x^{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{x^{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 2.2.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{x^{2} - 1} (2 x + 0)$

Paso 2.2.4

Suma $2 x$ y $0$ .

$e^{x^{2} - 1} (2 x)$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Reordena los factores de $e^{x^{2} - 1} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2} - 1} x$

Paso 2.3.2

Reordena los factores en $2 e^{x^{2} - 1} x$ .

$2 x e^{x^{2} - 1}$

Paso 2.4

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$2 (1) \cdot e^{{(1)}^{2} - 1}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 \cdot e^{{(1)}^{2} - 1}$

Paso 2.5.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 \cdot e^{1 - 1}$

Paso 2.5.3

Resta $1$ de $1$ .

$2 \cdot e^{0}$

Paso 2.5.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 2.5.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $2$ y un punto dado $(1, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 2 \cdot (x - (1))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = 2 \cdot (x - 1)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $2 \cdot (x - 1)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - 1 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 1)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 1 = 2 \cdot (x - 1)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 1 = 2 x + 2 \cdot - 1$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y - 1 = 2 x - 2$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 2 x - 2 + 1$

Paso 3.3.2.2

Suma $- 2$ y $1$ .

$y = 2 x - 1$

Paso 4