Cálculo Ejemplos

$f (x) = (- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 x + 3)$ , $x = 0$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = 0$ .

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Paso 1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$y = (- 5 {(0)}^{2} + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = (- 5 \cdot 0^{2} + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = (- 5 {(0)}^{2} + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

Paso 1.2.3

Simplifica $(- 5 {(0)}^{2} + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$ .

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = (- 5 \cdot 0 + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

Paso 1.2.3.1.2

Multiplica $- 5$ por $0$ .

$y = (0 + 5 (0) - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

Paso 1.2.3.1.3

Multiplica $5$ por $0$ .

$y = (0 + 0 - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

Paso 1.2.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.3.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$y = (0 - 2) (- 2 \cdot 0 + 3)$

Paso 1.2.3.2.2

Resta $2$ de $0$ .

$y = - 2 (- 2 \cdot 0 + 3)$

Paso 1.2.3.2.3

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$y = - 2 (0 + 3)$

Paso 1.2.3.2.4

Suma $0$ y $3$ .

$y = - 2 \cdot 3$

Paso 1.2.3.2.5

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$y = - 6$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 0$ y $y = - 6$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 5 x^{2} + 5 x - 2$ y $g (x) = - 2 x + 3$ .

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) \frac{d}{d x} [- 2 x + 3] + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 2 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Paso 2.2.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Paso 2.2.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 + \frac{d}{d x} [3]) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Paso 2.2.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) (- 2 + 0) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Paso 2.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.6.1

Suma $- 2$ y $0$ .

$(- 5 x^{2} + 5 x - 2) \cdot - 2 + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Paso 2.2.6.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $- 5 x^{2} + 5 x - 2$ .

$- 2 \cdot (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) \frac{d}{d x} [- 5 x^{2} + 5 x - 2]$

Paso 2.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $- 5 x^{2} + 5 x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 2.2.8

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 2.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 2.2.10

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 2.2.11

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 2.2.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 2.2.13

Multiplica $5$ por $1$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Paso 2.2.14

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5 + 0)$

Paso 2.2.15

Suma $- 10 x + 5$ y $0$ .

$- 2 (- 5 x^{2} + 5 x - 2) + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5)$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 (- 5 x^{2}) - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 + (- 2 x + 3) (- 10 x + 5)$

Paso 2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 (- 5 x^{2}) - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 + (- 2 x + 3) (- 10 x) + (- 2 x + 3) \cdot 5$

Paso 2.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 (- 5 x^{2}) - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) + (- 2 x + 3) \cdot 5$

Paso 2.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 (- 5 x^{2}) - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Paso 2.3.5

Combina los términos.

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Paso 2.3.5.1

Multiplica $- 5$ por $- 2$ .

$10 x^{2} - 2 (5 x) - 2 \cdot - 2 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Paso 2.3.5.2

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$10 x^{2} - 10 x - 2 \cdot - 2 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Paso 2.3.5.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 - 2 x (- 10 x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Paso 2.3.5.4

Multiplica $- 10$ por $- 2$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x \cdot x + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Paso 2.3.5.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 (x^{1} x) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Paso 2.3.5.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 (x^{1} x^{1}) + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Paso 2.3.5.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{1 + 1} + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Paso 2.3.5.8

Suma $1$ y $1$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} + 3 (- 10 x) - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Paso 2.3.5.9

Multiplica $- 10$ por $3$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} - 30 x - 2 x \cdot 5 + 3 \cdot 5$

Paso 2.3.5.10

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} - 30 x - 10 x + 3 \cdot 5$

Paso 2.3.5.11

Multiplica $3$ por $5$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} - 30 x - 10 x + 15$

Paso 2.3.5.12

Resta $10 x$ de $- 30 x$ .

$10 x^{2} - 10 x + 4 + 20 x^{2} - 40 x + 15$

Paso 2.3.5.13

Suma $10 x^{2}$ y $20 x^{2}$ .

$30 x^{2} - 10 x + 4 - 40 x + 15$

Paso 2.3.5.14

Resta $40 x$ de $- 10 x$ .

$30 x^{2} - 50 x + 4 + 15$

Paso 2.3.5.15

Suma $4$ y $15$ .

$30 x^{2} - 50 x + 19$

Paso 2.4

Evalúa la derivada en $x = 0$ .

$30 {(0)}^{2} - 50 \cdot 0 + 19$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$30 \cdot 0 - 50 \cdot 0 + 19$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $30$ por $0$ .

$0 - 50 \cdot 0 + 19$

Paso 2.5.1.3

Multiplica $- 50$ por $0$ .

$0 + 0 + 19$

Paso 2.5.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.5.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + 19$

Paso 2.5.2.2

Suma $0$ y $19$ .

$19$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $19$ y un punto dado $(0, - 6)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 6) = 19 \cdot (x - (0))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 6 = 19 \cdot (x + 0)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Suma $x$ y $0$ .

$y + 6 = 19 x$

Paso 3.3.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$y = 19 x - 6$

Paso 4