Cálculo Ejemplos

$f (x) = \ln^{3} (x)$ at $x = 6$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = 6$ .

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Paso 1.1

Sustituye $6$ por $x$ .

$y = \ln ({(6)}^{3})$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = \ln (6^{3})$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = \ln ({(6)}^{3})$

Paso 1.2.3

Eleva $6$ a la potencia de $3$ .

$y = \ln (216)$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 6$ y $y = \ln (216)$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = {(x)}^{3}$ .

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Paso 2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como ${(x)}^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [{(x)}^{3}]$

Paso 2.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [{(x)}^{3}]$

Paso 2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con ${(x)}^{3}$ .

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{x^{3}} (3 x^{2})$

Paso 2.2.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.2.2.1

Combina $3$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{3}{x^{3}} x^{2}$

Paso 2.2.2.2

Combina $\frac{3}{x^{3}}$ y $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{x^{3}}$

Paso 2.2.2.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x^{3}$ .

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Paso 2.2.2.3.1

Factoriza $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3}}$

Paso 2.2.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.3.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

Paso 2.2.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} x}$

Paso 2.2.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{x}$

Paso 2.3

Evalúa la derivada en $x = 6$ .

$\frac{3}{6}$

Paso 2.4

Cancela el factor común de $3$ y $6$ .

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Paso 2.4.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 (1)}{6}$

Paso 2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.4.2.1

Factoriza $3$ de $6$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Paso 2.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Paso 2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2}$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $\frac{1}{2}$ y un punto dado $(6, \ln (216))$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\ln (216)) = \frac{1}{2} \cdot (x - (6))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \ln (216) = \frac{1}{2} \cdot (x - 6)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $\frac{1}{2} \cdot (x - 6)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - \ln (216) = 0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot (x - 6)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - \ln (216) = \frac{1}{2} \cdot (x - 6)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \ln (216) = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot - 6$

Paso 3.3.1.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$y - \ln (216) = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 6$

Paso 3.3.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.5.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$y - \ln (216) = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 3))$

Paso 3.3.1.5.2

Cancela el factor común.

$y - \ln (216) = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 3)$

Paso 3.3.1.5.3

Reescribe la expresión.

$y - \ln (216) = \frac{x}{2} - 3$

Paso 3.3.2

Suma $\ln (216)$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{x}{2} - 3 + \ln (216)$

Paso 3.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{2} x - 3 + \ln (216)$

Paso 4