Cálculo Ejemplos

$y = \frac{6}{(1 + e^{- x})}$ , $(0, 3)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 0$ y $y = 3$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{6}{1 + e^{- x}}$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + e^{- x}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + e^{- x}}]$

Paso 1.1.2

Reescribe $\frac{1}{1 + e^{- x}}$ como ${(1 + e^{- x})}^{- 1}$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(1 + e^{- x})}^{- 1}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = 1 + e^{- x}$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $1 + e^{- x}$ .

$6 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$6 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $1 + e^{- x}$ .

$6 (- {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$- 6 ({(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + e^{- x}])$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Paso 1.3.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Paso 1.3.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 1.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- x$ .

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 1.4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- x$ .

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 1.5

Diferencia.

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Paso 1.5.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 1.5.2

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Paso 1.5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} \cdot 1)$

Paso 1.5.4

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Reordena los factores de $6 {(1 + e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$ .

$6 e^{- x} {(1 + e^{- x})}^{- 2}$

Paso 1.6.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 e^{- x} \frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$

Paso 1.6.3

Multiplica $6 e^{- x} \frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ .

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Paso 1.6.3.1

Combina $\frac{1}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ y $6$ .

$\frac{6}{{(1 + e^{- x})}^{2}} e^{- x}$

Paso 1.6.3.2

Combina $\frac{6}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$ y $e^{- x}$ .

$\frac{6 e^{- x}}{{(1 + e^{- x})}^{2}}$

Paso 1.7

Evalúa la derivada en $x = 0$ .

$\frac{6 e^{- (0)}}{{(1 + e^{- (0)})}^{2}}$

Paso 1.8

Simplifica.

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Paso 1.8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.8.1.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{6 e^{0}}{{(1 + e^{- (0)})}^{2}}$

Paso 1.8.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{6 \cdot 1}{{(1 + e^{- (0)})}^{2}}$

Paso 1.8.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.8.2.1

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{6 \cdot 1}{{(1 + e^{0})}^{2}}$

Paso 1.8.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{6 \cdot 1}{{(1 + 1)}^{2}}$

Paso 1.8.2.3

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{6 \cdot 1}{2^{2}}$

Paso 1.8.2.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{6 \cdot 1}{4}$

Paso 1.8.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.8.3.1

Multiplica $6$ por $1$ .

$\frac{6}{4}$

Paso 1.8.3.2

Cancela el factor común de $6$ y $4$ .

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Paso 1.8.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 (3)}{4}$

Paso 1.8.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.8.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Paso 1.8.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Paso 1.8.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{2}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{3}{2}$ y un punto dado $(0, 3)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{3}{2} \cdot (x - (0))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 3 = \frac{3}{2} \cdot (x + 0)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{3}{2} \cdot (x + 0)$ .

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Paso 2.3.1.1

Suma $x$ y $0$ .

$y - 3 = \frac{3}{2} \cdot x$

Paso 2.3.1.2

Combina $\frac{3}{2}$ y $x$ .

$y - 3 = \frac{3 x}{2}$

Paso 2.3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{3 x}{2} + 3$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{3}{2} x + 3$

Paso 3