Cálculo Ejemplos

$y = 8 \sin (x)$ at the point $(\frac{π}{6}, 4)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = \frac{π}{6}$ y $y = 4$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$8 \cos (x)$

Paso 1.3

Evalúa la derivada en $x = \frac{π}{6}$ .

$8 \cos (\frac{π}{6})$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$8 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.4.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$2 (4) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 1.4.2.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot 4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$4 \sqrt{3}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $4 \sqrt{3}$ y un punto dado $(\frac{π}{6}, 4)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = 4 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $4 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 4 = 0 + 0 + 4 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 4 \sqrt{3} (- \frac{π}{6})$

Paso 2.3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{6}$ al numerador.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 4 \sqrt{3} \frac{- π}{6}$

Paso 2.3.1.4.2

Factoriza $2$ de $4 \sqrt{3}$ .

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 2 (2 \sqrt{3}) \frac{- π}{6}$

Paso 2.3.1.4.3

Factoriza $2$ de $6$ .

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 2 (2 \sqrt{3}) \frac{- π}{2 (3)}$

Paso 2.3.1.4.4

Cancela el factor común.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 2 (2 \sqrt{3}) \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Paso 2.3.1.4.5

Reescribe la expresión.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + 2 \sqrt{3} \frac{- π}{3}$

Paso 2.3.1.5

Combina $\frac{- π}{3}$ y $2$ .

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + \frac{- π \cdot 2}{3} \sqrt{3}$

Paso 2.3.1.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + \frac{- 2 π}{3} \sqrt{3}$

Paso 2.3.1.7

Combina $\frac{- 2 π}{3}$ y $\sqrt{3}$ .

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x + \frac{- 2 π \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.3.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - 4 = 4 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3}$

Paso 2.3.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 4 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 4$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = 4 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 2.3.3.2

Combina $4$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = 4 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3}}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

Paso 2.3.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- 2 π \sqrt{3} + 4 \cdot 3}{3}$

Paso 2.3.3.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- 2 π \sqrt{3} + 12}{3}$

Paso 2.3.3.5

Factoriza $- 1$ de $- 2 π \sqrt{3}$ .

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- (2 π \sqrt{3}) + 12}{3}$

Paso 2.3.3.6

Reescribe $12$ como $- 1 (- 12)$ .

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- (2 π \sqrt{3}) - 1 (- 12)}{3}$

Paso 2.3.3.7

Factoriza $- 1$ de $- (2 π \sqrt{3}) - 1 (- 12)$ .

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- (2 π \sqrt{3} - 12)}{3}$

Paso 2.3.3.8

Reescribe $- (2 π \sqrt{3} - 12)$ como $- 1 (2 π \sqrt{3} - 12)$ .

$y = 4 \sqrt{3} x + \frac{- 1 (2 π \sqrt{3} - 12)}{3}$

Paso 2.3.3.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = 4 \sqrt{3} x - \frac{2 π \sqrt{3} - 12}{3}$

Paso 3