Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{2} x \ln (x^{2})$ , $(- 1, 0)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = - 1$ y $y = 0$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 1.1.1

Combina $x$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2} \cdot \ln (x^{2})]$

Paso 1.1.2

Combina $\frac{x}{2}$ y $\ln (x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x^{2})}{2}]$

Paso 1.1.3

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x \ln (x^{2})}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{2})]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x^{2})]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x^{2})$ .

$\frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.4.1

Combina $\frac{1}{x^{2}}$ y $x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 1.4.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{1}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.2.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.2.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.2.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.2.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{x} (2 x) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.4

Simplifica los términos.

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Paso 1.4.4.1

Combina $2$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{x} x + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.4.2

Combina $\frac{2}{x}$ y $x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.4.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.4.4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2} (\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.4.3.2

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (2 + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (2 + \ln (x^{2}) \cdot 1)$

Paso 1.4.6

Multiplica $\ln (x^{2})$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (2 + \ln (x^{2}))$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} \cdot 2 + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

Paso 1.5.2

Combina los términos.

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Paso 1.5.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2}{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

Paso 1.5.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

Paso 1.5.2.2.2

Reescribe la expresión.

$1 + \frac{1}{2} \ln (x^{2})$

Paso 1.5.3

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} \ln (x^{2}) + 1$

Paso 1.5.4

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.4.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (x^{2})$ .

$\frac{\ln (x^{2})}{2} + 1$

Paso 1.5.4.2

Expande $\ln (x^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$\frac{2 \ln (x)}{2} + 1$

Paso 1.5.4.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.4.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \ln (x)}{2} + 1$

Paso 1.5.4.3.2

Divide $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) + 1$

Paso 1.6

Evalúa la derivada en $x = - 1$ .

$\ln (- 1) + 1$

Paso 1.7

El logaritmo natural de un número negativo es indefinido.

Indefinida

Paso 2

La pendiente de la recta es indefinida, lo que significa que es perpendicular al eje x en $x = - 1$ .

$x = - 1$

Paso 3