Cálculo Ejemplos

$y = x^{3} - 2 x + 1$ , $(2, 5)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 2$ y $y = 5$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 2 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.2.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$3 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.3.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} - 2 + 0$

Paso 1.3.2

Suma $3 x^{2} - 2$ y $0$ .

$3 x^{2} - 2$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = 2$ .

$3 {(2)}^{2} - 2$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$3 \cdot 4 - 2$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 - 2$

Paso 1.5.2

Resta $2$ de $12$ .

$10$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $10$ y un punto dado $(2, 5)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = 10 \cdot (x - (2))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 5 = 10 \cdot (x - 2)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $10 \cdot (x - 2)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 5 = 0 + 0 + 10 \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 5 = 10 \cdot (x - 2)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 5 = 10 x + 10 \cdot - 2$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $10$ por $- 2$ .

$y - 5 = 10 x - 20$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 10 x - 20 + 5$

Paso 2.3.2.2

Suma $- 20$ y $5$ .

$y = 10 x - 15$

Paso 3