Cálculo Ejemplos

$x^{2} - y^{2} - 3 x - 19 = 0$ , $(- 4, 3)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = - 4$ y $y = 3$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - y^{2} - 3 x - 19) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Diferencia.

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Paso 1.2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - y^{2} - 3 x - 19$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Paso 1.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- y^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$2 x - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Paso 1.2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x - (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Paso 1.2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 x - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Paso 1.2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x - (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Paso 1.2.2.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 x - 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 2 y y' - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 19]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x - 2 y y' - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 19]$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$2 x - 2 y y' - 3 + \frac{d}{d x} [- 19]$

Paso 1.2.4

Como $- 19$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 19$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x - 2 y y' - 3 + 0$

Paso 1.2.5

Simplifica.

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Paso 1.2.5.1

Suma $2 x - 2 y y' - 3$ y $0$ .

$2 x - 2 y y' - 3$

Paso 1.2.5.2

Reordena los términos.

$- 2 y y' + 2 x - 3$

Paso 1.3

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$- 2 y y' + 2 x - 3 = 0$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

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Paso 1.5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.5.1.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 y y' - 3 = - 2 x$

Paso 1.5.1.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 y y' = - 2 x + 3$

Paso 1.5.2

Divide cada término en $- 2 y y' = - 2 x + 3$ por $- 2 y$ y simplifica.

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Paso 1.5.2.1

Divide cada término en $- 2 y y' = - 2 x + 3$ por $- 2 y$ .

$\frac{- 2 y y'}{- 2 y} = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Paso 1.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 1.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 y y'}{- 2 y} = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Paso 1.5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Paso 1.5.2.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Paso 1.5.2.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Paso 1.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.2.3.1.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 1.5.2.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{- 2 x}{- 2 y} + \frac{3}{- 2 y}$

Paso 1.5.2.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{x}{y} + \frac{3}{- 2 y}$

Paso 1.5.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{x}{y} - \frac{3}{2 y}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y} - \frac{3}{2 y}$

Paso 1.7

Evalúa $x = - 4$ y $y = 3$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 4$ en la expresión.

$\frac{- 4}{y} - \frac{3}{2 y}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $3$ en la expresión.

$\frac{- 4}{3} - \frac{3}{2 (3)}$

Paso 1.7.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4}{3} - \frac{3}{2 (3)}$

Paso 1.7.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.7.3.2.1

Cancela el factor común.

$- \frac{4}{3} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

Paso 1.7.3.2.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{4}{3} - \frac{1}{2}$

Paso 1.7.4

Para escribir $- \frac{4}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 1.7.5

Para escribir $- \frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 1.7.6

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.7.6.1

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 1.7.6.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$- \frac{4 \cdot 2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 1.7.6.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4 \cdot 2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

Paso 1.7.6.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$- \frac{4 \cdot 2}{6} - \frac{3}{6}$

Paso 1.7.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 4 \cdot 2 - 3}{6}$

Paso 1.7.8

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.8.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$\frac{- 8 - 3}{6}$

Paso 1.7.8.2

Resta $3$ de $- 8$ .

$\frac{- 11}{6}$

Paso 1.7.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{11}{6}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- \frac{11}{6}$ y un punto dado $(- 4, 3)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = - \frac{11}{6} \cdot (x - (- 4))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 3 = - \frac{11}{6} \cdot (x + 4)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- \frac{11}{6} \cdot (x + 4)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 3 = 0 + 0 - \frac{11}{6} \cdot (x + 4)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 3 = - \frac{11}{6} x - \frac{11}{6} \cdot 4$

Paso 2.3.1.2.2

Combina $x$ y $\frac{11}{6}$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} - \frac{11}{6} \cdot 4$

Paso 2.3.1.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.2.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{11}{6}$ al numerador.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11}{6} \cdot 4$

Paso 2.3.1.2.3.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11}{2 (3)} \cdot 4$

Paso 2.3.1.2.3.3

Factoriza $2$ de $4$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 2)$

Paso 2.3.1.2.3.4

Cancela el factor común.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 2)$

Paso 2.3.1.2.3.5

Reescribe la expresión.

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11}{3} \cdot 2$

Paso 2.3.1.2.4

Combina $\frac{- 11}{3}$ y $2$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 11 \cdot 2}{3}$

Paso 2.3.1.2.5

Multiplica $- 11$ por $2$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 11}{6} + \frac{- 22}{3}$

Paso 2.3.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.3.1

Mueve $11$ a la izquierda de $x$ .

$y - 3 = - \frac{11 \cdot x}{6} + \frac{- 22}{3}$

Paso 2.3.1.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - 3 = - \frac{11 x}{6} - \frac{22}{3}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{11 x}{6} - \frac{22}{3} + 3$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{11 x}{6} - \frac{22}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 2.3.2.3

Combina $3$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{11 x}{6} - \frac{22}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{11 x}{6} + \frac{- 22 + 3 \cdot 3}{3}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$y = - \frac{11 x}{6} + \frac{- 22 + 9}{3}$

Paso 2.3.2.5.2

Suma $- 22$ y $9$ .

$y = - \frac{11 x}{6} + \frac{- 13}{3}$

Paso 2.3.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{11 x}{6} - \frac{13}{3}$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{11}{6} x) - \frac{13}{3}$

Paso 2.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{11}{6} x - \frac{13}{3}$

Paso 3