Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{3 x^{3}}$ , $(- 2, - \frac{1}{24})$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = - 2$ y $y = - \frac{1}{24}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{3 x^{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Paso 1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.2.1

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Paso 1.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Paso 1.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 3$ .

$\frac{1}{3} (- 3 x^{- 4})$

Paso 1.4

Simplifica los términos.

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Paso 1.4.1

Combina $- 3$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 3}{3} x^{- 4}$

Paso 1.4.2

Combina $\frac{- 3}{3}$ y $x^{- 4}$ .

$\frac{- 3 x^{- 4}}{3}$

Paso 1.4.3

Mueve $x^{- 4}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{3 x^{4}}$

Paso 1.4.4

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 1.4.4.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 x^{4}}$

Paso 1.4.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.4.2.1

Factoriza $3$ de $3 x^{4}$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (x^{4})}$

Paso 1.4.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 x^{4}}$

Paso 1.4.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{x^{4}}$

Paso 1.4.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{x^{4}}$

Paso 1.5

Evalúa la derivada en $x = - 2$ .

$- \frac{1}{{(- 2)}^{4}}$

Paso 1.6

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$- \frac{1}{16}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- \frac{1}{16}$ y un punto dado $(- 2, - \frac{1}{24})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{1}{24}) = - \frac{1}{16} \cdot (x - (- 2))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + \frac{1}{24} = - \frac{1}{16} \cdot (x + 2)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- \frac{1}{16} \cdot (x + 2)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y + \frac{1}{24} = 0 + 0 - \frac{1}{16} \cdot (x + 2)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y + \frac{1}{24} = - \frac{1}{16} \cdot (x + 2)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + \frac{1}{24} = - \frac{1}{16} x - \frac{1}{16} \cdot 2$

Paso 2.3.1.4

Combina $x$ y $\frac{1}{16}$ .

$y + \frac{1}{24} = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} \cdot 2$

Paso 2.3.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{16}$ al numerador.

$y + \frac{1}{24} = - \frac{x}{16} + \frac{- 1}{16} \cdot 2$

Paso 2.3.1.5.2

Factoriza $2$ de $16$ .

$y + \frac{1}{24} = - \frac{x}{16} + \frac{- 1}{2 (8)} \cdot 2$

Paso 2.3.1.5.3

Cancela el factor común.

$y + \frac{1}{24} = - \frac{x}{16} + \frac{- 1}{2 \cdot 8} \cdot 2$

Paso 2.3.1.5.4

Reescribe la expresión.

$y + \frac{1}{24} = - \frac{x}{16} + \frac{- 1}{8}$

Paso 2.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + \frac{1}{24} = - \frac{x}{16} - \frac{1}{8}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Resta $\frac{1}{24}$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{x}{16} - \frac{1}{8} - \frac{1}{24}$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $- \frac{1}{8}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{x}{16} - \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{24}$

Paso 2.3.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $24$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{8}$ por $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{x}{16} - \frac{3}{8 \cdot 3} - \frac{1}{24}$

Paso 2.3.2.3.2

Multiplica $8$ por $3$ .

$y = - \frac{x}{16} - \frac{3}{24} - \frac{1}{24}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{x}{16} + \frac{- 3 - 1}{24}$

Paso 2.3.2.5

Resta $1$ de $- 3$ .

$y = - \frac{x}{16} + \frac{- 4}{24}$

Paso 2.3.2.6

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.2.6.1

Cancela el factor común de $- 4$ y $24$ .

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Paso 2.3.2.6.1.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$y = - \frac{x}{16} + \frac{4 (- 1)}{24}$

Paso 2.3.2.6.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.6.1.2.1

Factoriza $4$ de $24$ .

$y = - \frac{x}{16} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 6}$

Paso 2.3.2.6.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = - \frac{x}{16} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 6}$

Paso 2.3.2.6.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{x}{16} + \frac{- 1}{6}$

Paso 2.3.2.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{x}{16} - \frac{1}{6}$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{1}{16} x) - \frac{1}{6}$

Paso 2.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{1}{16} x - \frac{1}{6}$

Paso 3