Cálculo Ejemplos

$f (x) = - \frac{1}{x - 1}$ at $(- 5, \frac{1}{6})$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = - 5$ y $y = \frac{1}{6}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = - 1$ y $g (x) = \frac{1}{x - 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 1}] + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{1}{x - 1}$ como ${(x - 1)}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- 1}] + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 1$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$- (- {(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.4

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 ({(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.4.2

Multiplica ${(x - 1)}^{- 2}$ por $1$ .

${(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.4.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

${(x - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

${(x - 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.4.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

${(x - 1)}^{- 2} (1 + 0) + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.4.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.6.1

Suma $1$ y $0$ .

${(x - 1)}^{- 2} \cdot 1 + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.4.6.2

Multiplica ${(x - 1)}^{- 2}$ por $1$ .

${(x - 1)}^{- 2} + \frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.4.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

${(x - 1)}^{- 2} + \frac{1}{x - 1} \cdot 0$

Paso 1.4.8

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.8.1

Multiplica $\frac{1}{x - 1}$ por $0$ .

${(x - 1)}^{- 2} + 0$

Paso 1.4.8.2

Suma ${(x - 1)}^{- 2}$ y $0$ .

${(x - 1)}^{- 2}$

Paso 1.5

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Paso 1.6

Evalúa la derivada en $x = - 5$ .

$\frac{1}{{((- 5) - 1)}^{2}}$

Paso 1.7

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.1

Resta $1$ de $- 5$ .

$\frac{1}{{(- 6)}^{2}}$

Paso 1.7.2

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{36}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{1}{36}$ y un punto dado $(- 5, \frac{1}{6})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{6}) = \frac{1}{36} \cdot (x - (- 5))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \cdot (x + 5)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{1}{36} \cdot (x + 5)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - \frac{1}{6} = 0 + 0 + \frac{1}{36} \cdot (x + 5)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - \frac{1}{6} = \frac{1}{36} \cdot (x + 5)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{1}{6} = \frac{1}{36} x + \frac{1}{36} \cdot 5$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{1}{36}$ y $x$ .

$y - \frac{1}{6} = \frac{x}{36} + \frac{1}{36} \cdot 5$

Paso 2.3.1.5

Combina $\frac{1}{36}$ y $5$ .

$y - \frac{1}{6} = \frac{x}{36} + \frac{5}{36}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Suma $\frac{1}{6}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{1}{6}$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $\frac{1}{6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{6}$

Paso 2.3.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $36$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $\frac{6}{6}$ .

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{6}{6 \cdot 6}$

Paso 2.3.2.3.2

Multiplica $6$ por $6$ .

$y = \frac{x}{36} + \frac{5}{36} + \frac{6}{36}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x}{36} + \frac{5 + 6}{36}$

Paso 2.3.2.5

Suma $5$ y $6$ .

$y = \frac{x}{36} + \frac{11}{36}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{36} x + \frac{11}{36}$

Paso 3