Cálculo Ejemplos

$f (x) = (x^{2} + 7) (5 x + 4)$ ; $x = 2$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = 2$ .

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Paso 1.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$y = ({(2)}^{2} + 7) (5 (2) + 4)$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = (2^{2} + 7) (5 (2) + 4)$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = ({(2)}^{2} + 7) (5 (2) + 4)$

Paso 1.2.3

Simplifica $({(2)}^{2} + 7) (5 (2) + 4)$ .

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Paso 1.2.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = (4 + 7) (5 (2) + 4)$

Paso 1.2.3.2

Suma $4$ y $7$ .

$y = 11 (5 (2) + 4)$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $5$ por $2$ .

$y = 11 (10 + 4)$

Paso 1.2.3.4

Suma $10$ y $4$ .

$y = 11 \cdot 14$

Paso 1.2.3.5

Multiplica $11$ por $14$ .

$y = 154$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 2$ y $y = 154$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2} + 7$ y $g (x) = 5 x + 4$ .

$(x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [5 x + 4] + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Paso 2.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x^{2} + 7) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4]) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Paso 2.2.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} + 7) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x^{2} + 7) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Paso 2.2.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$(x^{2} + 7) (5 + \frac{d}{d x} [4]) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Paso 2.2.5

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x^{2} + 7) (5 + 0) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Paso 2.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.6.1

Suma $5$ y $0$ .

$(x^{2} + 7) \cdot 5 + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Paso 2.2.6.2

Mueve $5$ a la izquierda de $x^{2} + 7$ .

$5 \cdot (x^{2} + 7) + (5 x + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]$

Paso 2.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$5 (x^{2} + 7) + (5 x + 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 2.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 (x^{2} + 7) + (5 x + 4) (2 x + \frac{d}{d x} [7])$

Paso 2.2.9

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 (x^{2} + 7) + (5 x + 4) (2 x + 0)$

Paso 2.2.10

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.10.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$5 (x^{2} + 7) + (5 x + 4) (2 x)$

Paso 2.2.10.2

Mueve $2$ a la izquierda de $5 x + 4$ .

$5 (x^{2} + 7) + 2 \cdot (5 x + 4) x$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x^{2} + 5 \cdot 7 + 2 (5 x + 4) x$

Paso 2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x^{2} + 5 \cdot 7 + (2 (5 x) + 2 \cdot 4) x$

Paso 2.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x^{2} + 5 \cdot 7 + 2 (5 x) x + 2 \cdot 4 x$

Paso 2.3.4

Combina los términos.

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Paso 2.3.4.1

Multiplica $5$ por $7$ .

$5 x^{2} + 35 + 2 (5 x) x + 2 \cdot 4 x$

Paso 2.3.4.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$5 x^{2} + 35 + 10 x \cdot x + 2 \cdot 4 x$

Paso 2.3.4.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$5 x^{2} + 35 + 10 (x^{1} x) + 2 \cdot 4 x$

Paso 2.3.4.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$5 x^{2} + 35 + 10 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 4 x$

Paso 2.3.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 x^{2} + 35 + 10 x^{1 + 1} + 2 \cdot 4 x$

Paso 2.3.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$5 x^{2} + 35 + 10 x^{2} + 2 \cdot 4 x$

Paso 2.3.4.7

Multiplica $2$ por $4$ .

$5 x^{2} + 35 + 10 x^{2} + 8 x$

Paso 2.3.4.8

Suma $5 x^{2}$ y $10 x^{2}$ .

$15 x^{2} + 35 + 8 x$

Paso 2.3.5

Reordena los términos.

$15 x^{2} + 8 x + 35$

Paso 2.4

Evalúa la derivada en $x = 2$ .

$15 {(2)}^{2} + 8 (2) + 35$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$15 \cdot 4 + 8 (2) + 35$

Paso 2.5.1.2

Multiplica $15$ por $4$ .

$60 + 8 (2) + 35$

Paso 2.5.1.3

Multiplica $8$ por $2$ .

$60 + 16 + 35$

Paso 2.5.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 2.5.2.1

Suma $60$ y $16$ .

$76 + 35$

Paso 2.5.2.2

Suma $76$ y $35$ .

$111$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $111$ y un punto dado $(2, 154)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (154) = 111 \cdot (x - (2))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 154 = 111 \cdot (x - 2)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $111 \cdot (x - 2)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - 154 = 0 + 0 + 111 \cdot (x - 2)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 154 = 111 \cdot (x - 2)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 154 = 111 x + 111 \cdot - 2$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $111$ por $- 2$ .

$y - 154 = 111 x - 222$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $154$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 111 x - 222 + 154$

Paso 3.3.2.2

Suma $- 222$ y $154$ .

$y = 111 x - 68$

Paso 4