Cálculo Ejemplos

$y = x^{\sin (x)}$ , $(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = \frac{π}{2}$ y $y = \frac{π}{2}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 1.1.1

Reescribe $x^{\sin (x)}$ como $e^{\ln (x^{\sin (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\sin (x)})}]$

Paso 1.1.2

Expande $\ln (x^{\sin (x)})$ ; para ello, mueve $\sin (x)$ fuera del logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (x) \ln (x)}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \sin (x) \ln (x)$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x) \ln (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 1.4

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 1.5

Combina $\sin (x)$ y $\frac{1}{x}$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Paso 1.6

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (x)} (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x))$

Paso 1.7

Simplifica.

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Paso 1.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{\sin (x) \ln (x)} \frac{\sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} (\ln (x) \cos (x))$

Paso 1.7.2

Combina $e^{\sin (x) \ln (x)}$ y $\frac{\sin (x)}{x}$ .

$\frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x} + e^{\sin (x) \ln (x)} \ln (x) \cos (x)$

Paso 1.7.3

Reordena los términos.

$e^{\sin (x) \ln (x)} \cos (x) \ln (x) + \frac{e^{\sin (x) \ln (x)} \sin (x)}{x}$

Paso 1.8

Evalúa la derivada en $x = \frac{π}{2}$ .

$e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Paso 1.9

Simplifica.

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Paso 1.9.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.9.1.1

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$e^{1 \ln (\frac{π}{2})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Paso 1.9.1.2

Simplifica $1 \ln (\frac{π}{2})$ al mover $1$ dentro del algoritmo.

$e^{\ln ({(\frac{π}{2})}^{1})} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Paso 1.9.1.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

${(\frac{π}{2})}^{1} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Paso 1.9.1.4

Simplifica.

$\frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Paso 1.9.1.5

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{2})$ es $0$ .

$\frac{π}{2} \cdot 0 \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Paso 1.9.1.6

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $0$ .

$0 \ln (\frac{π}{2}) + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Paso 1.9.1.7

Multiplica $0$ por $\ln (\frac{π}{2})$ .

$0 + \frac{e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Paso 1.9.1.8

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$0 + e^{\sin (\frac{π}{2}) \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Paso 1.9.1.9

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$0 + e^{1 \ln (\frac{π}{2})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Paso 1.9.1.10

Simplifica $1 \ln (\frac{π}{2})$ al mover $1$ dentro del algoritmo.

$0 + e^{\ln ({(\frac{π}{2})}^{1})} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Paso 1.9.1.11

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$0 + {(\frac{π}{2})}^{1} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Paso 1.9.1.12

Simplifica.

$0 + \frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2}) \frac{2}{π}$

Paso 1.9.1.13

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$0 + \frac{π}{2} \cdot 1 \frac{2}{π}$

Paso 1.9.1.14

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $1$ .

$0 + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Paso 1.9.1.15

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 1.9.1.15.1

Cancela el factor común.

$0 + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Paso 1.9.1.15.2

Reescribe la expresión.

$0 + \frac{1}{2} \cdot 2$

Paso 1.9.1.16

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.9.1.16.1

Cancela el factor común.

$0 + \frac{1}{2} \cdot 2$

Paso 1.9.1.16.2

Reescribe la expresión.

$0 + 1$

Paso 1.9.2

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $1$ y un punto dado $(\frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{2}) = 1 \cdot (x - (\frac{π}{2}))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{π}{2} = 1 \cdot (x - \frac{π}{2})$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Multiplica $x - \frac{π}{2}$ por $1$ .

$y - \frac{π}{2} = x - \frac{π}{2}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $\frac{π}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = x - \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 2.3.2.2

Combina los términos opuestos en $x - \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Suma $- \frac{π}{2}$ y $\frac{π}{2}$ .

$y = x + 0$

Paso 2.3.2.2.2

Suma $x$ y $0$ .

$y = x$

Paso 3