Cálculo Ejemplos

$8 x^{2} + 2 y^{2} = 16$ , $(1, 2)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = 2$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (8 x^{2} + 2 y^{2}) = \frac{d}{d x} (16)$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 x^{2} + 2 y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{2}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$8 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $2$ por $8$ .

$16 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y^{2}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$16 x + 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$16 x + 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Paso 1.2.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$16 x + 2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Paso 1.2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$16 x + 2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Paso 1.2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$16 x + 2 (2 y y')$

Paso 1.2.3.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$16 x + 4 y y'$

Paso 1.2.4

Reordena los términos.

$4 y y' + 16 x$

Paso 1.3

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$4 y y' + 16 x = 0$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

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Paso 1.5.1

Resta $16 x$ de ambos lados de la ecuación.

$4 y y' = - 16 x$

Paso 1.5.2

Divide cada término en $4 y y' = - 16 x$ por $4 y$ y simplifica.

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Paso 1.5.2.1

Divide cada término en $4 y y' = - 16 x$ por $4 y$ .

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{- 16 x}{4 y}$

Paso 1.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y y'}{4 y} = \frac{- 16 x}{4 y}$

Paso 1.5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 16 x}{4 y}$

Paso 1.5.2.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 16 x}{4 y}$

Paso 1.5.2.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 16 x}{4 y}$

Paso 1.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.2.3.1

Cancela el factor común de $- 16$ y $4$ .

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Paso 1.5.2.3.1.1

Factoriza $4$ de $- 16 x$ .

$y' = \frac{4 (- 4 x)}{4 y}$

Paso 1.5.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.2.3.1.2.1

Factoriza $4$ de $4 y$ .

$y' = \frac{4 (- 4 x)}{4 (y)}$

Paso 1.5.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{4 (- 4 x)}{4 y}$

Paso 1.5.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- 4 x}{y}$

Paso 1.5.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{4 x}{y}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{y}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 1$ y $y = 2$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$- \frac{4 (1)}{y}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $2$ en la expresión.

$- \frac{4 (1)}{2}$

Paso 1.7.3

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 1.7.3.1

Factoriza $2$ de $4 (1)$ .

$- \frac{2 (2 \cdot 1)}{2}$

Paso 1.7.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.7.3.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{2 (2 \cdot 1)}{2 (1)}$

Paso 1.7.3.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{2 (2 \cdot 1)}{2 \cdot 1}$

Paso 1.7.3.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{2 \cdot 1}{1}$

Paso 1.7.3.2.4

Divide $2 \cdot 1$ por $1$ .

$- (2 \cdot 1)$

Paso 1.7.4

Multiplica $- (2 \cdot 1)$ .

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Paso 1.7.4.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 1 \cdot 2$

Paso 1.7.4.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- 2$ y un punto dado $(1, 2)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = - 2 \cdot (x - (1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 2 = - 2 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- 2 \cdot (x - 1)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 2 = 0 + 0 - 2 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 2 = - 2 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 2 = - 2 x - 2 \cdot - 1$

Paso 2.3.1.4

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$y - 2 = - 2 x + 2$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - 2 x + 2 + 2$

Paso 2.3.2.2

Suma $2$ y $2$ .

$y = - 2 x + 4$

Paso 3