Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} {(3 - x)}^{3}$ ; $x = 1$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = 1$ .

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Paso 1.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$y = {(1)}^{4} {(3 - (1))}^{3}$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 1^{4} {(3 - (1))}^{3}$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = {(1)}^{4} {(3 - (1))}^{3}$

Paso 1.2.3

Simplifica ${(1)}^{4} {(3 - (1))}^{3}$ .

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Paso 1.2.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = 1 {(3 - (1))}^{3}$

Paso 1.2.3.2

Multiplica ${(3 - (1))}^{3}$ por $1$ .

$y = {(3 - (1))}^{3}$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y = {(3 - 1)}^{3}$

Paso 1.2.3.4

Resta $1$ de $3$ .

$y = 2^{3}$

Paso 1.2.3.5

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$y = 8$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = 8$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = {(3 - x)}^{3}$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{3}] + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = 3 - x$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 - x$ .

$x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x^{4} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 - x$ .

$x^{4} (3 {(3 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{4} (3 {(3 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.3.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{4} (3 {(3 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{4} (3 {(3 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (3 {(3 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.3.5

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2} \cdot 1) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.3.7

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2}) + {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2}) + {(3 - x)}^{3} (4 x^{3})$

Paso 2.3.9

Mueve $4$ a la izquierda de ${(3 - x)}^{3}$ .

$x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2}) + 4 \cdot {(3 - x)}^{3} x^{3}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Factoriza $x^{3} {(3 - x)}^{2}$ de $x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2}) + 4 {(3 - x)}^{3} x^{3}$ .

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Paso 2.4.1.1

Factoriza $x^{3} {(3 - x)}^{2}$ de $x^{4} (- 3 {(3 - x)}^{2})$ .

$x^{3} {(3 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + 4 {(3 - x)}^{3} x^{3}$

Paso 2.4.1.2

Factoriza $x^{3} {(3 - x)}^{2}$ de $4 {(3 - x)}^{3} x^{3}$ .

$x^{3} {(3 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x^{3} {(3 - x)}^{2} (4 (3 - x))$

Paso 2.4.1.3

Factoriza $x^{3} {(3 - x)}^{2}$ de $x^{3} {(3 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x^{3} {(3 - x)}^{2} (4 (3 - x))$ .

$x^{3} {(3 - x)}^{2} (x \cdot (- 3) + 4 (3 - x))$

Paso 2.4.2

Mueve $- 3$ a la izquierda de $x$ .

$x^{3} {(3 - x)}^{2} (- 3 x + 4 (3 - x))$

Paso 2.4.3

Reescribe ${(3 - x)}^{2}$ como $(3 - x) (3 - x)$ .

$x^{3} ((3 - x) (3 - x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Paso 2.4.4

Expande $(3 - x) (3 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.4.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{3} (3 (3 - x) - x (3 - x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Paso 2.4.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{3} (3 \cdot 3 + 3 (- x) - x (3 - x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Paso 2.4.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{3} (3 \cdot 3 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Paso 2.4.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.4.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.5.1.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$x^{3} (9 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Paso 2.4.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$x^{3} (9 - 3 x - x \cdot 3 - x (- x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Paso 2.4.5.1.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$x^{3} (9 - 3 x - 3 x - x (- x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Paso 2.4.5.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{3} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Paso 2.4.5.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.5.1.5.1

Mueve $x$ .

$x^{3} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Paso 2.4.5.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{3} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Paso 2.4.5.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x^{3} (9 - 3 x - 3 x + 1 x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Paso 2.4.5.1.7

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$x^{3} (9 - 3 x - 3 x + x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Paso 2.4.5.2

Resta $3 x$ de $- 3 x$ .

$x^{3} (9 - 6 x + x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Paso 2.4.6

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{3} \cdot 9 + x^{3} (- 6 x) + x^{3} x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Paso 2.4.7

Simplifica.

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Paso 2.4.7.1

Mueve $9$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$(9 \cdot x^{3} + x^{3} (- 6 x) + x^{3} x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Paso 2.4.7.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(9 \cdot x^{3} - 6 x^{3} x + x^{3} x^{2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Paso 2.4.7.3

Multiplica $x^{3}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.7.3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(9 \cdot x^{3} - 6 x^{3} x + x^{3 + 2}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Paso 2.4.7.3.2

Suma $3$ y $2$ .

$(9 \cdot x^{3} - 6 x^{3} x + x^{5}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Paso 2.4.8

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.8.1

Mueve $x$ .

$(9 x^{3} - 6 (x \cdot x^{3}) + x^{5}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Paso 2.4.8.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 2.4.8.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(9 x^{3} - 6 (x^{1} x^{3}) + x^{5}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Paso 2.4.8.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(9 x^{3} - 6 x^{1 + 3} + x^{5}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Paso 2.4.8.3

Suma $1$ y $3$ .

$(9 x^{3} - 6 x^{4} + x^{5}) (- 3 x + 4 (3 - x))$

Paso 2.4.9

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(9 x^{3} - 6 x^{4} + x^{5}) (- 3 x + 4 \cdot 3 + 4 (- x))$

Paso 2.4.9.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$(9 x^{3} - 6 x^{4} + x^{5}) (- 3 x + 12 + 4 (- x))$

Paso 2.4.9.3

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$(9 x^{3} - 6 x^{4} + x^{5}) (- 3 x + 12 - 4 x)$

Paso 2.4.10

Resta $4 x$ de $- 3 x$ .

$(9 x^{3} - 6 x^{4} + x^{5}) (- 7 x + 12)$

Paso 2.4.11

Expande $(9 x^{3} - 6 x^{4} + x^{5}) (- 7 x + 12)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$9 x^{3} (- 7 x) + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Paso 2.4.12

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.12.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$9 \cdot - 7 x^{3} x + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Paso 2.4.12.2

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.12.2.1

Mueve $x$ .

$9 \cdot - 7 (x \cdot x^{3}) + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Paso 2.4.12.2.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 2.4.12.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$9 \cdot - 7 (x^{1} x^{3}) + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Paso 2.4.12.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$9 \cdot - 7 x^{1 + 3} + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Paso 2.4.12.2.3

Suma $1$ y $3$ .

$9 \cdot - 7 x^{4} + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Paso 2.4.12.3

Multiplica $9$ por $- 7$ .

$- 63 x^{4} + 9 x^{3} \cdot 12 - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Paso 2.4.12.4

Multiplica $12$ por $9$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} - 6 x^{4} (- 7 x) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Paso 2.4.12.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} - 6 \cdot - 7 x^{4} x - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Paso 2.4.12.6

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.12.6.1

Mueve $x$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} - 6 \cdot - 7 (x \cdot x^{4}) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Paso 2.4.12.6.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

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Paso 2.4.12.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} - 6 \cdot - 7 (x^{1} x^{4}) - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Paso 2.4.12.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} - 6 \cdot - 7 x^{1 + 4} - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Paso 2.4.12.6.3

Suma $1$ y $4$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} - 6 \cdot - 7 x^{5} - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Paso 2.4.12.7

Multiplica $- 6$ por $- 7$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 6 x^{4} \cdot 12 + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Paso 2.4.12.8

Multiplica $12$ por $- 6$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} + x^{5} (- 7 x) + x^{5} \cdot 12$

Paso 2.4.12.9

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} - 7 x^{5} x + x^{5} \cdot 12$

Paso 2.4.12.10

Multiplica $x^{5}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.12.10.1

Mueve $x$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} - 7 (x \cdot x^{5}) + x^{5} \cdot 12$

Paso 2.4.12.10.2

Multiplica $x$ por $x^{5}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.12.10.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} - 7 (x^{1} x^{5}) + x^{5} \cdot 12$

Paso 2.4.12.10.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} - 7 x^{1 + 5} + x^{5} \cdot 12$

Paso 2.4.12.10.3

Suma $1$ y $5$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} - 7 x^{6} + x^{5} \cdot 12$

Paso 2.4.12.11

Mueve $12$ a la izquierda de $x^{5}$ .

$- 63 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 72 x^{4} - 7 x^{6} + 12 x^{5}$

Paso 2.4.13

Resta $72 x^{4}$ de $- 63 x^{4}$ .

$- 135 x^{4} + 108 x^{3} + 42 x^{5} - 7 x^{6} + 12 x^{5}$

Paso 2.4.14

Suma $42 x^{5}$ y $12 x^{5}$ .

$- 135 x^{4} + 108 x^{3} - 7 x^{6} + 54 x^{5}$

Paso 2.5

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$- 135 {(1)}^{4} + 108 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{6} + 54 {(1)}^{5}$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 135 \cdot 1 + 108 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{6} + 54 {(1)}^{5}$

Paso 2.6.1.2

Multiplica $- 135$ por $1$ .

$- 135 + 108 {(1)}^{3} - 7 {(1)}^{6} + 54 {(1)}^{5}$

Paso 2.6.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 135 + 108 \cdot 1 - 7 {(1)}^{6} + 54 {(1)}^{5}$

Paso 2.6.1.4

Multiplica $108$ por $1$ .

$- 135 + 108 - 7 {(1)}^{6} + 54 {(1)}^{5}$

Paso 2.6.1.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 135 + 108 - 7 \cdot 1 + 54 {(1)}^{5}$

Paso 2.6.1.6

Multiplica $- 7$ por $1$ .

$- 135 + 108 - 7 + 54 {(1)}^{5}$

Paso 2.6.1.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 135 + 108 - 7 + 54 \cdot 1$

Paso 2.6.1.8

Multiplica $54$ por $1$ .

$- 135 + 108 - 7 + 54$

Paso 2.6.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.6.2.1

Suma $- 135$ y $108$ .

$- 27 - 7 + 54$

Paso 2.6.2.2

Resta $7$ de $- 27$ .

$- 34 + 54$

Paso 2.6.2.3

Suma $- 34$ y $54$ .

$20$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $20$ y un punto dado $(1, 8)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = 20 \cdot (x - (1))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 8 = 20 \cdot (x - 1)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $20 \cdot (x - 1)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - 8 = 0 + 0 + 20 \cdot (x - 1)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 8 = 20 \cdot (x - 1)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 8 = 20 x + 20 \cdot - 1$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $20$ por $- 1$ .

$y - 8 = 20 x - 20$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 20 x - 20 + 8$

Paso 3.3.2.2

Suma $- 20$ y $8$ .

$y = 20 x - 12$

Paso 4