Cálculo Ejemplos

$y^{2} e^{2 x} - 4 y - x^{2} = 0$ , $(0, 4)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 0$ y $y = 4$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y^{2} e^{2 x} - 4 y - x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{2} e^{2 x} - 4 y - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{2} e^{2 x}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = y^{2}$ y $g (x) = e^{2 x}$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x$ .

$y^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.2.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$y^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$y^{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.2.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.2.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.2.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.2.5.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.2.6

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y^{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.2.7

Multiplica $2$ por $1$ .

$y^{2} (e^{2 x} \cdot 2) + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.2.8

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$y^{2} (2 \cdot e^{2 x}) + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.2.9

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$2 \cdot y^{2} e^{2 x} + e^{2 x} (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.2.10

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 y$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 1.2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' - (2 x)$

Paso 1.2.4.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 e^{2 x} y y' - 4 y' - 2 x$

Paso 1.2.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.1

Reordena los términos.

$2 e^{2 x} y^{2} + 2 e^{2 x} y y' - 2 x - 4 y'$

Paso 1.2.5.2

Reordena los factores en $2 e^{2 x} y^{2} + 2 e^{2 x} y y' - 2 x - 4 y'$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} y' - 2 x - 4 y'$

Paso 1.3

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} y' - 2 x - 4 y' = 0$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Reordena los factores en $2 y^{2} e^{2 x} + 2 y e^{2 x} y' - 2 x - 4 y'$ .

$2 y^{2} e^{2 x} + 2 y y' e^{2 x} - 2 x - 4 y' = 0$

Paso 1.5.2

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.1

Resta $2 y^{2} e^{2 x}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y y' e^{2 x} - 2 x - 4 y' = - 2 y^{2} e^{2 x}$

Paso 1.5.2.2

Suma $2 x$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y y' e^{2 x} - 4 y' = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

Paso 1.5.3

Factoriza $2 y'$ de $2 y y' e^{2 x} - 4 y'$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.3.1

Factoriza $2 y'$ de $2 y y' e^{2 x}$ .

$2 y' (y e^{2 x}) - 4 y' = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

Paso 1.5.3.2

Factoriza $2 y'$ de $- 4 y'$ .

$2 y' (y e^{2 x}) + 2 y' \cdot - 2 = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

Paso 1.5.3.3

Factoriza $2 y'$ de $2 y' (y e^{2 x}) + 2 y' \cdot - 2$ .

$2 y' (y e^{2 x} - 2) = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$

Paso 1.5.4

Divide cada término en $2 y' (y e^{2 x} - 2) = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$ por $2 (y e^{2 x} - 2)$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.4.1

Divide cada término en $2 y' (y e^{2 x} - 2) = - 2 y^{2} e^{2 x} + 2 x$ por $2 (y e^{2 x} - 2)$ .

$\frac{2 y' (y e^{2 x} - 2)}{2 (y e^{2 x} - 2)} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Paso 1.5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y' (y e^{2 x} - 2)}{2 (y e^{2 x} - 2)} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Paso 1.5.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (y e^{2 x} - 2)}{y e^{2 x} - 2} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Paso 1.5.4.2.2

Cancela el factor común de $y e^{2 x} - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y e^{2 x} - 2)}{y e^{2 x} - 2} = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Paso 1.5.4.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} e^{2 x}}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Paso 1.5.4.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.4.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.4.3.1.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.4.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 y^{2} e^{2 x}$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} e^{2 x})}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Paso 1.5.4.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.4.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 (- y^{2} e^{2 x})}{2 (y e^{2 x} - 2)} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Paso 1.5.4.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Paso 1.5.4.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Paso 1.5.4.3.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.4.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{2 x}{2 (y e^{2 x} - 2)}$

Paso 1.5.4.3.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x}}{y e^{2 x} - 2} + \frac{x}{y e^{2 x} - 2}$

Paso 1.5.4.3.2

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.4.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- y^{2} e^{2 x} + x}{y e^{2 x} - 2}$

Paso 1.5.4.3.2.2

Factoriza $- 1$ de $- y^{2} e^{2 x}$ .

$y' = \frac{- (y^{2} e^{2 x}) + x}{y e^{2 x} - 2}$

Paso 1.5.4.3.2.3

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$y' = \frac{- (y^{2} e^{2 x}) - 1 (- x)}{y e^{2 x} - 2}$

Paso 1.5.4.3.2.4

Factoriza $- 1$ de $- (y^{2} e^{2 x}) - 1 (- x)$ .

$y' = \frac{- (y^{2} e^{2 x} - x)}{y e^{2 x} - 2}$

Paso 1.5.4.3.2.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.4.3.2.5.1

Reescribe $- (y^{2} e^{2 x} - x)$ como $- 1 (y^{2} e^{2 x} - x)$ .

$y' = \frac{- 1 (y^{2} e^{2 x} - x)}{y e^{2 x} - 2}$

Paso 1.5.4.3.2.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y^{2} e^{2 x} - x}{y e^{2 x} - 2}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} e^{2 x} - x}{y e^{2 x} - 2}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 0$ y $y = 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$- \frac{y^{2} e^{2 (0)} - (0)}{y e^{2 (0)} - 2}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $4$ en la expresión.

$- \frac{{(4)}^{2} e^{2 (0)} - (0)}{(4) \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Paso 1.7.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.3.1

Reescribe $4^{2} e^{2 (0)}$ como ${(4 e^{0})}^{2}$ .

$- \frac{{(4 e^{0})}^{2} - (0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Paso 1.7.3.2

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$- \frac{{(4 e^{0})}^{2} - 0^{2}}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Paso 1.7.3.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 4 e^{0}$ y $b = 0$ .

$- \frac{(4 e^{0} + 0) (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Paso 1.7.3.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.3.4.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- \frac{(4 \cdot 1 + 0) (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Paso 1.7.3.4.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$- \frac{(4 + 0) (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Paso 1.7.3.4.3

Suma $4$ y $0$ .

$- \frac{4 (4 e^{0} + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Paso 1.7.3.4.4

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- \frac{4 (4 \cdot 1 + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Paso 1.7.3.4.5

Multiplica $4$ por $1$ .

$- \frac{4 (4 + 0)}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Paso 1.7.3.4.6

Suma $4$ y $0$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot e^{2 (0)} - 2}$

Paso 1.7.4

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.4.1

Multiplica $2$ por $0$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot e^{0} - 2}$

Paso 1.7.4.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1 - 2}$

Paso 1.7.4.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{4 - 2}$

Paso 1.7.4.4

Resta $2$ de $4$ .

$- \frac{4 \cdot 4}{2}$

Paso 1.7.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.5.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$- \frac{16}{2}$

Paso 1.7.5.2

Divide $16$ por $2$ .

$- 1 \cdot 8$

Paso 1.7.5.3

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$- 8$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Usa la pendiente $- 8$ y un punto dado $(0, 4)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = - 8 \cdot (x - (0))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 4 = - 8 \cdot (x + 0)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Suma $x$ y $0$ .

$y - 4 = - 8 x$

Paso 2.3.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - 8 x + 4$

Paso 3