Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{12 x}{x^{2} - 4}$ ; $(4, 4)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 4$ y $y = 4$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{12 x}{x^{2} - 4}$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 4}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 4}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} - 4$ .

$12 \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$12 \frac{(x^{2} - 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Multiplica $x^{2} - 4$ por $1$ .

$12 \frac{x^{2} - 4 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$12 \frac{x^{2} - 4 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$12 \frac{x^{2} - 4 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.3.5

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$12 \frac{x^{2} - 4 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$12 \frac{x^{2} - 4 - x (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.3.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$12 \frac{x^{2} - 4 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$12 \frac{x^{2} - 4 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$12 \frac{x^{2} - 4 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$12 \frac{x^{2} - 4 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.7

Suma $1$ y $1$ .

$12 \frac{x^{2} - 4 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.8

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$12 \frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.9

Combina $12$ y $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$\frac{12 (- x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.10

Simplifica.

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Paso 1.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{12 (- x^{2}) + 12 \cdot - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.10.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.10.2.1

Multiplica $- 1$ por $12$ .

$\frac{- 12 x^{2} + 12 \cdot - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.10.2.2

Multiplica $12$ por $- 4$ .

$\frac{- 12 x^{2} - 48}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.11

Evalúa la derivada en $x = 4$ .

$\frac{- 12 {(4)}^{2} - 48}{{({(4)}^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.12

Simplifica.

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Paso 1.12.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.12.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 12 \cdot 16 - 48}{{(4^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.12.1.2

Multiplica $- 12$ por $16$ .

$\frac{- 192 - 48}{{(4^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.12.1.3

Resta $48$ de $- 192$ .

$\frac{- 240}{{(4^{2} - 4)}^{2}}$

Paso 1.12.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.12.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 240}{{(16 - 4)}^{2}}$

Paso 1.12.2.2

Resta $4$ de $16$ .

$\frac{- 240}{12^{2}}$

Paso 1.12.2.3

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 240}{144}$

Paso 1.12.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.12.3.1

Cancela el factor común de $- 240$ y $144$ .

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Paso 1.12.3.1.1

Factoriza $48$ de $- 240$ .

$\frac{48 (- 5)}{144}$

Paso 1.12.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.12.3.1.2.1

Factoriza $48$ de $144$ .

$\frac{48 \cdot - 5}{48 \cdot 3}$

Paso 1.12.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{48 \cdot - 5}{48 \cdot 3}$

Paso 1.12.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 5}{3}$

Paso 1.12.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5}{3}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- \frac{5}{3}$ y un punto dado $(4, 4)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = - \frac{5}{3} \cdot (x - (4))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 4 = - \frac{5}{3} \cdot (x - 4)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- \frac{5}{3} \cdot (x - 4)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 4 = 0 + 0 - \frac{5}{3} \cdot (x - 4)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 4 = - \frac{5}{3} \cdot (x - 4)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 4 = - \frac{5}{3} x - \frac{5}{3} \cdot - 4$

Paso 2.3.1.4

Combina $x$ y $\frac{5}{3}$ .

$y - 4 = - \frac{x \cdot 5}{3} - \frac{5}{3} \cdot - 4$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $- \frac{5}{3} \cdot - 4$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$y - 4 = - \frac{x \cdot 5}{3} + 4 (\frac{5}{3})$

Paso 2.3.1.5.2

Combina $4$ y $\frac{5}{3}$ .

$y - 4 = - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{4 \cdot 5}{3}$

Paso 2.3.1.5.3

Multiplica $4$ por $5$ .

$y - 4 = - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{20}{3}$

Paso 2.3.1.6

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$y - 4 = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + 4$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 2.3.2.3

Combina $4$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20 + 4 \cdot 3}{3}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{20 + 12}{3}$

Paso 2.3.2.5.2

Suma $20$ y $12$ .

$y = - \frac{5 x}{3} + \frac{32}{3}$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{5}{3} x) + \frac{32}{3}$

Paso 2.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{5}{3} x + \frac{32}{3}$

Paso 3