Cálculo Ejemplos

$f (x) = 15 - 2 x^{2}$ at $x = 1$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = 1$ .

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Paso 1.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$y = 15 - 2 {(1)}^{2}$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 15 - 2 \cdot 1^{2}$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = 15 - 2 {(1)}^{2}$

Paso 1.2.3

Simplifica $15 - 2 {(1)}^{2}$ .

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = 15 - 2 \cdot 1$

Paso 1.2.3.1.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$y = 15 - 2$

Paso 1.2.3.2

Resta $2$ de $15$ .

$y = 13$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = 13$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $15 - 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [15] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Paso 2.1.2

Como $15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $15$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 - 2 (2 x)$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$0 - 4 x$

Paso 2.3

Resta $4 x$ de $0$ .

$- 4 x$

Paso 2.4

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Paso 2.5

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$- 4$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $- 4$ y un punto dado $(1, 13)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (13) = - 4 \cdot (x - (1))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 13 = - 4 \cdot (x - 1)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $- 4 \cdot (x - 1)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - 13 = 0 + 0 - 4 \cdot (x - 1)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 13 = - 4 \cdot (x - 1)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 13 = - 4 x - 4 \cdot - 1$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$y - 13 = - 4 x + 4$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $13$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - 4 x + 4 + 13$

Paso 3.3.2.2

Suma $4$ y $13$ .

$y = - 4 x + 17$

Paso 4