Cálculo Ejemplos

$y = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ at the origin and at the point $(1, 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

$2 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Multiplica $x^{2} + 1$ por $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.3.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.7

Suma $1$ y $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.8

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.9

Combina $2$ y $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.10

Simplifica.

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Paso 1.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.10.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.10.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.10.2.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.11

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$\frac{- 2 {(1)}^{2} + 2}{{({(1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.12

Simplifica.

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Paso 1.12.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.12.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{- 2 \cdot 1 + 2}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.12.1.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{- 2 + 2}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.12.1.3

Suma $- 2$ y $2$ .

$\frac{0}{{(1^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1.12.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.12.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{0}{{(1 + 1)}^{2}}$

Paso 1.12.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{0}{2^{2}}$

Paso 1.12.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0}{4}$

Paso 1.12.3

Divide $0$ por $4$ .

$0$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $0$ y un punto dado $(1, 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 0 \cdot (x - (1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 1 = 0 \cdot (x - 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Multiplica $0$ por $x - 1$ .

$y - 1 = 0$

Paso 2.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 1$

Paso 3