Cálculo Ejemplos

$f (x) = - 3 \cos (x)$ at $x = \frac{3}{4} π$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = \frac{3}{4} \cdot π$ .

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Paso 1.1

Sustituye $\frac{3}{4} \cdot π$ por $x$ .

$y = - 3 \cos (\frac{3}{4} \cdot π)$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = - 3 \cos (\frac{3}{4} \cdot π)$

Paso 1.2.2

Simplifica $- 3 \cos (\frac{3}{4} \cdot π)$ .

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Paso 1.2.2.1

Combina $\frac{3}{4}$ y $π$ .

$y = - 3 \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 1.2.2.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$y = - 3 (- \cos (\frac{π}{4}))$

Paso 1.2.2.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = - 3 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 1.2.2.4

Multiplica $- 3 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Paso 1.2.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$y = 3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 1.2.2.4.2

Combina $3$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = \frac{3}{4} π$ y $y = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 2.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- 3 (- \sin (x))$

Paso 2.3

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$3 \sin (x)$

Paso 2.4

Evalúa la derivada en $x = \frac{3}{4} \cdot π$ .

$3 \sin (\frac{3}{4} \cdot π)$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Combina $\frac{3}{4}$ y $π$ .

$3 \sin (\frac{3 π}{4})$

Paso 2.5.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$3 \sin (\frac{π}{4})$

Paso 2.5.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 2.5.4

Combina $3$ y $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ y un punto dado $(\frac{3}{4} \cdot π, \frac{3 \sqrt{2}}{2})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{3 \sqrt{2}}{2}) = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - (\frac{3}{4} \cdot π))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = 0 + 0 + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} x + \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{3 π}{4})$

Paso 3.3.1.4

Combina $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ y $x$ .

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{3 π}{4})$

Paso 3.3.1.5

Multiplica $\frac{3 \sqrt{2}}{2} (- \frac{3 π}{4})$ .

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Paso 3.3.1.5.1

Multiplica $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{3 π}{4}$ .

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{3 \sqrt{2} (3 π)}{2 \cdot 4}$

Paso 3.3.1.5.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{2 \cdot 4}$

Paso 3.3.1.5.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$y - \frac{3 \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8}$

Paso 3.3.2

Suma $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Paso 3.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 3.3.3.1

Para escribir $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 3.3.3.2

Escribe cada expresión con un denominador común de $8$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.3.3.2.1

Multiplica $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2} \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Paso 3.3.3.2.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π}{8} + \frac{3 \sqrt{2} \cdot 4}{8}$

Paso 3.3.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 9 \sqrt{2} π + 3 \sqrt{2} \cdot 4}{8}$

Paso 3.3.3.4

Multiplica $4$ por $3$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 9 \sqrt{2} π + 12 \sqrt{2}}{8}$

Paso 3.3.3.5

Factoriza $- 1$ de $- 9 \sqrt{2} π$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- (9 \sqrt{2} π) + 12 \sqrt{2}}{8}$

Paso 3.3.3.6

Factoriza $- 1$ de $12 \sqrt{2}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- (9 \sqrt{2} π) - (- 12 \sqrt{2})}{8}$

Paso 3.3.3.7

Factoriza $- 1$ de $- (9 \sqrt{2} π) - (- 12 \sqrt{2})$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- (9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2})}{8}$

Paso 3.3.3.8

Reescribe $- (9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2})$ como $- 1 (9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2})$ .

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} + \frac{- 1 (9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2})}{8}$

Paso 3.3.3.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{3 \sqrt{2} x}{2} - \frac{9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2}}{8}$

Paso 3.3.3.10

Reordena los términos.

$y = \frac{3 \sqrt{2}}{2} x - \frac{9 \sqrt{2} π - 12 \sqrt{2}}{8}$

Paso 4