Cálculo Ejemplos

$y = \ln (x^{2} - 8)$ , $(3, 0)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 3$ y $y = 0$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2} - 8$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 8$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 8$ .

$\frac{1}{x^{2} - 8} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 8} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 8} (2 x + \frac{d}{d x} [- 8])$

Paso 1.2.3

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 8} (2 x + 0)$

Paso 1.2.4

Combina fracciones.

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Paso 1.2.4.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 8} (2 x)$

Paso 1.2.4.2

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{2} - 8}$ .

$\frac{2}{x^{2} - 8} x$

Paso 1.2.4.3

Combina $\frac{2}{x^{2} - 8}$ y $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2} - 8}$

Paso 1.3

Evalúa la derivada en $x = 3$ .

$\frac{2 (3)}{{(3)}^{2} - 8}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{6}{3^{2} - 8}$

Paso 1.4.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.4.2.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{6}{9 - 8}$

Paso 1.4.2.2

Resta $8$ de $9$ .

$\frac{6}{1}$

Paso 1.4.3

Divide $6$ por $1$ .

$6$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $6$ y un punto dado $(3, 0)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 6 \cdot (x - (3))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 0 = 6 \cdot (x - 3)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Suma $y$ y $0$ .

$y = 6 \cdot (x - 3)$

Paso 2.3.2

Simplifica $6 \cdot (x - 3)$ .

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Paso 2.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 6 x + 6 \cdot - 3$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $6$ por $- 3$ .

$y = 6 x - 18$

Paso 3