Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x - 1}$ , $(5, 2)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 5$ y $y = 2$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - 1}$ como ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x - 1$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 1$ .

$\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.7

Combina fracciones.

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Paso 1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.7.3

Mueve ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 1.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Paso 1.10

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

Paso 1.11

Simplifica la expresión.

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Paso 1.11.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Paso 1.11.2

Multiplica $\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.12

Evalúa la derivada en $x = 5$ .

$\frac{1}{2 {((5) - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.13

Simplifica.

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Paso 1.13.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.13.1.1

Resta $1$ de $5$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.13.1.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.13.1.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 1.13.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.13.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 1.13.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 \cdot 2^{1}}$

Paso 1.13.1.5

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{2 \cdot 2}$

Paso 1.13.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{1}{4}$ y un punto dado $(5, 2)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = \frac{1}{4} \cdot (x - (5))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 2 = \frac{1}{4} \cdot (x - 5)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{1}{4} \cdot (x - 5)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 2 = 0 + 0 + \frac{1}{4} \cdot (x - 5)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 2 = \frac{1}{4} \cdot (x - 5)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 2 = \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot - 5$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{1}{4}$ y $x$ .

$y - 2 = \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 5$

Paso 2.3.1.5

Combina $\frac{1}{4}$ y $- 5$ .

$y - 2 = \frac{x}{4} + \frac{- 5}{4}$

Paso 2.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - 2 = \frac{x}{4} - \frac{5}{4}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{x}{4} - \frac{5}{4} + 2$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x}{4} - \frac{5}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

Paso 2.3.2.3

Combina $2$ y $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{x}{4} - \frac{5}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 5 + 2 \cdot 4}{4}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $2$ por $4$ .

$y = \frac{x}{4} + \frac{- 5 + 8}{4}$

Paso 2.3.2.5.2

Suma $- 5$ y $8$ .

$y = \frac{x}{4} + \frac{3}{4}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{4} x + \frac{3}{4}$

Paso 3