Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} {(3 - x)}^{4}$ ; $x = 2$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = 2$ .

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Paso 1.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$y = {(2)}^{3} {(3 - (2))}^{4}$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 2^{3} {(3 - (2))}^{4}$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = {(2)}^{3} {(3 - (2))}^{4}$

Paso 1.2.3

Simplifica ${(2)}^{3} {(3 - (2))}^{4}$ .

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Paso 1.2.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$y = 8 {(3 - (2))}^{4}$

Paso 1.2.3.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = 8 {(3 - 2)}^{4}$

Paso 1.2.3.3

Resta $2$ de $3$ .

$y = 8 \cdot 1^{4}$

Paso 1.2.3.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = 8 \cdot 1$

Paso 1.2.3.5

Multiplica $8$ por $1$ .

$y = 8$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 2$ y $y = 8$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = {(3 - x)}^{4}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [{(3 - x)}^{4}] + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = 3 - x$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 - x$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$x^{3} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 - x$ .

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 - x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.3.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [- x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} (4 {(3 - x)}^{3} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.3.5

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3} \cdot 1) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.3.7

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3}) + {(3 - x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 2.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3}) + {(3 - x)}^{4} (3 x^{2})$

Paso 2.3.9

Mueve $3$ a la izquierda de ${(3 - x)}^{4}$ .

$x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3}) + 3 \cdot {(3 - x)}^{4} x^{2}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Factoriza $x^{2} {(3 - x)}^{3}$ de $x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3}) + 3 {(3 - x)}^{4} x^{2}$ .

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Paso 2.4.1.1

Factoriza $x^{2} {(3 - x)}^{3}$ de $x^{3} (- 4 {(3 - x)}^{3})$ .

$x^{2} {(3 - x)}^{3} (x \cdot (- 4)) + 3 {(3 - x)}^{4} x^{2}$

Paso 2.4.1.2

Factoriza $x^{2} {(3 - x)}^{3}$ de $3 {(3 - x)}^{4} x^{2}$ .

$x^{2} {(3 - x)}^{3} (x \cdot (- 4)) + x^{2} {(3 - x)}^{3} (3 (3 - x))$

Paso 2.4.1.3

Factoriza $x^{2} {(3 - x)}^{3}$ de $x^{2} {(3 - x)}^{3} (x \cdot (- 4)) + x^{2} {(3 - x)}^{3} (3 (3 - x))$ .

$x^{2} {(3 - x)}^{3} (x \cdot (- 4) + 3 (3 - x))$

Paso 2.4.2

Mueve $- 4$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} {(3 - x)}^{3} (- 4 x + 3 (3 - x))$

Paso 2.5

Evalúa la derivada en $x = 2$ .

${(2)}^{2} {(3 - (2))}^{3} (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {(3 - (2))}^{3} (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

Paso 2.6.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$4 {(3 - 2)}^{3} (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

Paso 2.6.1.3

Resta $2$ de $3$ .

$4 \cdot 1^{3} (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

Paso 2.6.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 \cdot 1 (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

Paso 2.6.1.5

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 (- 4 \cdot 2 + 3 (3 - (2)))$

Paso 2.6.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.2.1

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$4 (- 8 + 3 (3 - (2)))$

Paso 2.6.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$4 (- 8 + 3 (3 - 2))$

Paso 2.6.2.3

Resta $2$ de $3$ .

$4 (- 8 + 3 \cdot 1)$

Paso 2.6.2.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$4 (- 8 + 3)$

Paso 2.6.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.3.1

Suma $- 8$ y $3$ .

$4 \cdot - 5$

Paso 2.6.3.2

Multiplica $4$ por $- 5$ .

$- 20$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $- 20$ y un punto dado $(2, 8)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = - 20 \cdot (x - (2))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 8 = - 20 \cdot (x - 2)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $- 20 \cdot (x - 2)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - 8 = 0 + 0 - 20 \cdot (x - 2)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 8 = - 20 \cdot (x - 2)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 8 = - 20 x - 20 \cdot - 2$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $- 20$ por $- 2$ .

$y - 8 = - 20 x + 40$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - 20 x + 40 + 8$

Paso 3.3.2.2

Suma $40$ y $8$ .

$y = - 20 x + 48$

Paso 4