Cálculo Ejemplos

$y = - 3 x^{3} - \sqrt{x} + \frac{2}{x}$ ; $(1, - 2)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = - 2$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 3 x^{3} - \sqrt{x} + \frac{2}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Paso 1.2.3

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$- 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Paso 1.3.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- 9 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Paso 1.3.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Paso 1.3.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Paso 1.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Paso 1.3.7

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Paso 1.3.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Paso 1.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 9 x^{2} - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Paso 1.3.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 9 x^{2} - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Paso 1.3.10

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{2}{x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 1.4.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 1.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 (- x^{- 2})$

Paso 1.4.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{- 2}$

Paso 1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.5.2

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Paso 1.5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- 9 x^{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{2}}$

Paso 1.5.3

Reordena los términos.

$- 9 x^{2} - \frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.6

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$- 9 {(1)}^{2} - \frac{2}{{(1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.7

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 9 \cdot 1 - \frac{2}{{(1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.7.1.2

Multiplica $- 9$ por $1$ .

$- 9 - \frac{2}{{(1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.7.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 9 - \frac{2}{1} - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.7.1.4

Divide $2$ por $1$ .

$- 9 - 1 \cdot 2 - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.7.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 9 - 2 - \frac{1}{2 {(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.7.1.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 9 - 2 - \frac{1}{2 \cdot 1}$

Paso 1.7.1.7

Multiplica $2$ por $1$ .

$- 9 - 2 - \frac{1}{2}$

Paso 1.7.2

Obtén el denominador común

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.2.1

Escribe $- 9$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{- 9}{1} - 2 - \frac{1}{2}$

Paso 1.7.2.2

Multiplica $\frac{- 9}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9}{1} \cdot \frac{2}{2} - 2 - \frac{1}{2}$

Paso 1.7.2.3

Multiplica $\frac{- 9}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} - 2 - \frac{1}{2}$

Paso 1.7.2.4

Escribe $- 2$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} - \frac{1}{2}$

Paso 1.7.2.5

Multiplica $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 1.7.2.6

Multiplica $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 1.7.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 9 \cdot 2 - 2 \cdot 2 - 1}{2}$

Paso 1.7.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.4.1

Multiplica $- 9$ por $2$ .

$\frac{- 18 - 2 \cdot 2 - 1}{2}$

Paso 1.7.4.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{- 18 - 4 - 1}{2}$

Paso 1.7.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.7.5.1

Resta $4$ de $- 18$ .

$\frac{- 22 - 1}{2}$

Paso 1.7.5.2

Resta $1$ de $- 22$ .

$\frac{- 23}{2}$

Paso 1.7.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{23}{2}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Usa la pendiente $- \frac{23}{2}$ y un punto dado $(1, - 2)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2) = - \frac{23}{2} \cdot (x - (1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 2 = - \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Simplifica $- \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y + 2 = 0 + 0 - \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y + 2 = - \frac{23}{2} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 2 = - \frac{23}{2} x - \frac{23}{2} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.4

Combina $x$ y $\frac{23}{2}$ .

$y + 2 = - \frac{x \cdot 23}{2} - \frac{23}{2} \cdot - 1$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $- \frac{23}{2} \cdot - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y + 2 = - \frac{x \cdot 23}{2} + 1 (\frac{23}{2})$

Paso 2.3.1.5.2

Multiplica $\frac{23}{2}$ por $1$ .

$y + 2 = - \frac{x \cdot 23}{2} + \frac{23}{2}$

Paso 2.3.1.6

Mueve $23$ a la izquierda de $x$ .

$y + 2 = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2} - 2$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 2.3.2.3

Combina $- 2$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23 - 2 \cdot 2}{2}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{23 - 4}{2}$

Paso 2.3.2.5.2

Resta $4$ de $23$ .

$y = - \frac{23 x}{2} + \frac{19}{2}$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{23}{2} x) + \frac{19}{2}$

Paso 2.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{23}{2} x + \frac{19}{2}$

Paso 3