Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{20 x}{x^{2} - 5}$ ; $(5, 5)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 5$ y $y = 5$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Como $20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{20 x}{x^{2} - 5}$ con respecto a $x$ es $20 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 5}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 5}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} - 5$ .

$20 \frac{(x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$20 \frac{(x^{2} - 5) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Multiplica $x^{2} - 5$ por $1$ .

$20 \frac{x^{2} - 5 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$20 \frac{x^{2} - 5 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$20 \frac{x^{2} - 5 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 1.3.5

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$20 \frac{x^{2} - 5 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 1.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.6.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$20 \frac{x^{2} - 5 - x (2 x)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 1.3.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$20 \frac{x^{2} - 5 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$20 \frac{x^{2} - 5 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 1.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$20 \frac{x^{2} - 5 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 1.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$20 \frac{x^{2} - 5 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 1.7

Suma $1$ y $1$ .

$20 \frac{x^{2} - 5 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 1.8

Resta $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$20 \frac{- x^{2} - 5}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 1.9

Combina $20$ y $\frac{- x^{2} - 5}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$ .

$\frac{20 (- x^{2} - 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 1.10

Simplifica.

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Paso 1.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{20 (- x^{2}) + 20 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 1.10.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.10.2.1

Multiplica $- 1$ por $20$ .

$\frac{- 20 x^{2} + 20 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 1.10.2.2

Multiplica $20$ por $- 5$ .

$\frac{- 20 x^{2} - 100}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 1.10.3

Factoriza $20$ de $- 20 x^{2} - 100$ .

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Paso 1.10.3.1

Factoriza $20$ de $- 20 x^{2}$ .

$\frac{20 (- x^{2}) - 100}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 1.10.3.2

Factoriza $20$ de $- 100$ .

$\frac{20 (- x^{2}) + 20 (- 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 1.10.3.3

Factoriza $20$ de $20 (- x^{2}) + 20 (- 5)$ .

$\frac{20 (- x^{2} - 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 1.10.4

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{20 (- (x^{2}) - 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 1.10.5

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$\frac{20 (- (x^{2}) - 1 (5))}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 1.10.6

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (5)$ .

$\frac{20 (- (x^{2} + 5))}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 1.10.7

Reescribe $- (x^{2} + 5)$ como $- 1 (x^{2} + 5)$ .

$\frac{20 (- 1 (x^{2} + 5))}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 1.10.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{20 (x^{2} + 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 1.11

Evalúa la derivada en $x = 5$ .

$- \frac{20 ({(5)}^{2} + 5)}{{({(5)}^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 1.12

Simplifica.

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Paso 1.12.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.12.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{20 (25 + 5)}{{(5^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 1.12.1.2

Suma $25$ y $5$ .

$- \frac{20 \cdot 30}{{(5^{2} - 5)}^{2}}$

Paso 1.12.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.12.2.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{20 \cdot 30}{{(25 - 5)}^{2}}$

Paso 1.12.2.2

Resta $5$ de $25$ .

$- \frac{20 \cdot 30}{20^{2}}$

Paso 1.12.2.3

Eleva $20$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{20 \cdot 30}{400}$

Paso 1.12.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.12.3.1

Multiplica $20$ por $30$ .

$- \frac{600}{400}$

Paso 1.12.3.2

Cancela el factor común de $600$ y $400$ .

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Paso 1.12.3.2.1

Factoriza $200$ de $600$ .

$- \frac{200 (3)}{400}$

Paso 1.12.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.12.3.2.2.1

Factoriza $200$ de $400$ .

$- \frac{200 \cdot 3}{200 \cdot 2}$

Paso 1.12.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{200 \cdot 3}{200 \cdot 2}$

Paso 1.12.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{3}{2}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- \frac{3}{2}$ y un punto dado $(5, 5)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = - \frac{3}{2} \cdot (x - (5))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 5 = - \frac{3}{2} \cdot (x - 5)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- \frac{3}{2} \cdot (x - 5)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 5 = 0 + 0 - \frac{3}{2} \cdot (x - 5)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 5 = - \frac{3}{2} \cdot (x - 5)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 5 = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 5$

Paso 2.3.1.4

Combina $x$ y $\frac{3}{2}$ .

$y - 5 = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 5$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $- \frac{3}{2} \cdot - 5$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$y - 5 = - \frac{x \cdot 3}{2} + 5 (\frac{3}{2})$

Paso 2.3.1.5.2

Combina $5$ y $\frac{3}{2}$ .

$y - 5 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{5 \cdot 3}{2}$

Paso 2.3.1.5.3

Multiplica $5$ por $3$ .

$y - 5 = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{15}{2}$

Paso 2.3.1.6

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$y - 5 = - \frac{3 x}{2} + \frac{15}{2}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{15}{2} + 5$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{15}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 2.3.2.3

Combina $5$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{15}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{15 + 5 \cdot 2}{2}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $5$ por $2$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{15 + 10}{2}$

Paso 2.3.2.5.2

Suma $15$ y $10$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{25}{2}$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{3}{2} x) + \frac{25}{2}$

Paso 2.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{3}{2} x + \frac{25}{2}$

Paso 3