Cálculo Ejemplos

$y = \ln (x^{2} - 4 x + 1)$ , $(4, 0)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 4$ y $y = 0$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2} - 4 x + 1$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 4 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 1]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 1]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 4 x + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 1]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.2.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.2.5

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [1])$

Paso 1.2.6

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x - 4 + 0)$

Paso 1.2.7

Suma $2 x - 4$ y $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x - 4)$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Reordena los factores de $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1} (2 x - 4)$ .

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 1.3.2

Multiplica $2 x - 4$ por $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 1}$ .

$\frac{2 x - 4}{x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 1.3.3

Factoriza $2$ de $2 x - 4$ .

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Paso 1.3.3.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 4}{x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 1.3.3.2

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot - 2}{x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 1.3.3.3

Factoriza $2$ de $2 x + 2 \cdot - 2$ .

$\frac{2 (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 1}$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = 4$ .

$\frac{2 ((4) - 2)}{{(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 1}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Resta $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{4^{2} - 4 \cdot 4 + 1}$

Paso 1.5.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.5.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{16 - 4 \cdot 4 + 1}$

Paso 1.5.2.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{16 - 16 + 1}$

Paso 1.5.2.3

Resta $16$ de $16$ .

$\frac{2 \cdot 2}{0 + 1}$

Paso 1.5.2.4

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{2 \cdot 2}{1}$

Paso 1.5.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.5.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4}{1}$

Paso 1.5.3.2

Divide $4$ por $1$ .

$4$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $4$ y un punto dado $(4, 0)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 4 \cdot (x - (4))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 0 = 4 \cdot (x - 4)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Suma $y$ y $0$ .

$y = 4 \cdot (x - 4)$

Paso 2.3.2

Simplifica $4 \cdot (x - 4)$ .

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Paso 2.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 4 x + 4 \cdot - 4$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$y = 4 x - 16$

Paso 3