Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{25 - x^{2}}$ at the point where $x = 4$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = 4$ .

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Paso 1.1

Sustituye $4$ por $x$ .

$y = \sqrt{25 - {(4)}^{2}}$

Paso 1.2

Simplifica $\sqrt{25 - {(4)}^{2}}$ .

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Paso 1.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$y = \sqrt{25 - 1 \cdot 16}$

Paso 1.2.2

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$y = \sqrt{25 - 16}$

Paso 1.2.3

Resta $16$ de $25$ .

$y = \sqrt{9}$

Paso 1.2.4

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$y = \sqrt{3^{2}}$

Paso 1.2.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = 3$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 4$ y $y = 3$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{25 - x^{2}}$ como ${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = 25 - x^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $25 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $25 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Paso 2.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Paso 2.7

Combina fracciones.

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Paso 2.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Paso 2.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Paso 2.7.3

Mueve ${(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Paso 2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $25 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 2.9

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 2.10

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Paso 2.11

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Paso 2.13

Simplifica los términos.

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Paso 2.13.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Paso 2.13.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Paso 2.13.3

Combina $\frac{- 2}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.13.4

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.14

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.14.1

Factoriza $2$ de $2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Paso 2.14.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (- x)}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.14.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.15

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.16

Evalúa la derivada en $x = 4$ .

$- \frac{4}{{(25 - {(4)}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.17

Simplifica el denominador.

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Paso 2.17.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.17.1.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{4}{{(25 - 1 \cdot 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.17.1.2

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$- \frac{4}{{(25 - 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.17.2

Resta $16$ de $25$ .

$- \frac{4}{9^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.17.3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$- \frac{4}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.17.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 2.17.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.17.5.1

Cancela el factor común.

$- \frac{4}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 2.17.5.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{4}{3^{1}}$

Paso 2.17.6

Evalúa el exponente.

$- \frac{4}{3}$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $- \frac{4}{3}$ y un punto dado $(4, 3)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = - \frac{4}{3} \cdot (x - (4))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 3 = - \frac{4}{3} \cdot (x - 4)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $- \frac{4}{3} \cdot (x - 4)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - 3 = 0 + 0 - \frac{4}{3} \cdot (x - 4)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 3 = - \frac{4}{3} \cdot (x - 4)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 3 = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot - 4$

Paso 3.3.1.4

Combina $x$ y $\frac{4}{3}$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 4$

Paso 3.3.1.5

Multiplica $- \frac{4}{3} \cdot - 4$ .

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Paso 3.3.1.5.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + 4 (\frac{4}{3})$

Paso 3.3.1.5.2

Combina $4$ y $\frac{4}{3}$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{4 \cdot 4}{3}$

Paso 3.3.1.5.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$y - 3 = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{16}{3}$

Paso 3.3.1.6

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$y - 3 = - \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3}$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3} + 3$

Paso 3.3.2.2

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.3.2.3

Combina $3$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Paso 3.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16 + 3 \cdot 3}{3}$

Paso 3.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.2.5.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{16 + 9}{3}$

Paso 3.3.2.5.2

Suma $16$ y $9$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{25}{3}$

Paso 3.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 3.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{4}{3} x) + \frac{25}{3}$

Paso 3.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{4}{3} x + \frac{25}{3}$

Paso 4