Cálculo Ejemplos

$f (x) = 2 \sin (x)$ at $x = \frac{3}{4} π$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = \frac{3}{4} \cdot π$ .

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Paso 1.1

Sustituye $\frac{3}{4} \cdot π$ por $x$ .

$y = 2 \sin (\frac{3}{4} \cdot π)$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 2 \sin (\frac{3}{4} \cdot π)$

Paso 1.2.2

Simplifica $2 \sin (\frac{3}{4} \cdot π)$ .

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Paso 1.2.2.1

Combina $\frac{3}{4}$ y $π$ .

$y = 2 \sin (\frac{3 π}{4})$

Paso 1.2.2.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$y = 2 \sin (\frac{π}{4})$

Paso 1.2.2.3

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$y = 2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 1.2.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.2.4.1

Cancela el factor común.

$y = 2 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 1.2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \sqrt{2}$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = \frac{3}{4} π$ y $y = \sqrt{2}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$2 \cos (x)$

Paso 2.3

Evalúa la derivada en $x = \frac{3}{4} \cdot π$ .

$2 \cos (\frac{3}{4} \cdot π)$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Combina $\frac{3}{4}$ y $π$ .

$2 \cos (\frac{3 π}{4})$

Paso 2.4.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$2 (- \cos (\frac{π}{4}))$

Paso 2.4.3

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{4})$ es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Paso 2.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ al numerador.

$2 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Paso 2.4.4.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Paso 2.4.4.3

Reescribe la expresión.

$- \sqrt{2}$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $- \sqrt{2}$ y un punto dado $(\frac{3}{4} \cdot π, \sqrt{2})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\sqrt{2}) = - \sqrt{2} \cdot (x - (\frac{3}{4} \cdot π))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \sqrt{2} = - \sqrt{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $- \sqrt{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - \sqrt{2} = 0 + 0 - \sqrt{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - \sqrt{2} = - \sqrt{2} \cdot (x - \frac{3 π}{4})$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \sqrt{2} = - \sqrt{2} x - \sqrt{2} (- \frac{3 π}{4})$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $- \sqrt{2} (- \frac{3 π}{4})$ .

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Paso 3.3.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y - \sqrt{2} = - \sqrt{2} x + 1 \sqrt{2} \frac{3 π}{4}$

Paso 3.3.1.4.2

Multiplica $\sqrt{2}$ por $1$ .

$y - \sqrt{2} = - \sqrt{2} x + \sqrt{2} \frac{3 π}{4}$

Paso 3.3.1.4.3

Combina $\sqrt{2}$ y $\frac{3 π}{4}$ .

$y - \sqrt{2} = - \sqrt{2} x + \frac{\sqrt{2} (3 π)}{4}$

Paso 3.3.1.5

Mueve $3$ a la izquierda de $\sqrt{2}$ .

$y - \sqrt{2} = - \sqrt{2} x + \frac{3 \sqrt{2} π}{4}$

Paso 3.3.2

Suma $\sqrt{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \sqrt{2} x + \frac{3 \sqrt{2} π}{4} + \sqrt{2}$

Paso 3.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 3.3.3.1

Para escribir $\sqrt{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$y = - \sqrt{2} x + \frac{3 \sqrt{2} π}{4} + \sqrt{2} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 3.3.3.2

Combina $\sqrt{2}$ y $\frac{4}{4}$ .

$y = - \sqrt{2} x + \frac{3 \sqrt{2} π}{4} + \frac{\sqrt{2} \cdot 4}{4}$

Paso 3.3.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = - \sqrt{2} x + \frac{3 \sqrt{2} π + \sqrt{2} \cdot 4}{4}$

Paso 3.3.3.4

Mueve $4$ a la izquierda de $\sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2} x + \frac{3 \sqrt{2} π + 4 \sqrt{2}}{4}$

Paso 4