Cálculo Ejemplos

$y = x e^{- x^{2}}$ , $(0, 0)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 0$ y $y = 0$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x^{2}$ .

$x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{1} x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{1} x^{1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.7

Simplifica la expresión.

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Paso 1.7.1

Suma $1$ y $1$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.7.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $e^{- x^{2}}$ .

$x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1$

Paso 1.9

Multiplica $e^{- x^{2}}$ por $1$ .

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}}$

Paso 1.10

Simplifica.

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Paso 1.10.1

Reordena los términos.

$- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$

Paso 1.10.2

Reordena los factores en $- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$ .

$- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$

Paso 1.11

Evalúa la derivada en $x = 0$ .

$- 2 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + e^{- {(0)}^{2}}$

Paso 1.12

Simplifica.

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Paso 1.12.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.12.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- 2 \cdot 0 e^{- {(0)}^{2}} + e^{- {(0)}^{2}}$

Paso 1.12.1.2

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$0 e^{- {(0)}^{2}} + e^{- {(0)}^{2}}$

Paso 1.12.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 e^{- 0} + e^{- {(0)}^{2}}$

Paso 1.12.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0 e^{0} + e^{- {(0)}^{2}}$

Paso 1.12.1.5

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$0 \cdot 1 + e^{- {(0)}^{2}}$

Paso 1.12.1.6

Multiplica $0$ por $1$ .

$0 + e^{- {(0)}^{2}}$

Paso 1.12.1.7

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 + e^{- 0}$

Paso 1.12.1.8

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0 + e^{0}$

Paso 1.12.1.9

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$0 + 1$

Paso 1.12.2

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $1$ y un punto dado $(0, 0)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 1 \cdot (x - (0))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 0 = 1 \cdot (x + 0)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Suma $y$ y $0$ .

$y = 1 \cdot (x + 0)$

Paso 2.3.2

Simplifica $1 \cdot (x + 0)$ .

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $x + 0$ por $1$ .

$y = x + 0$

Paso 2.3.2.2

Suma $x$ y $0$ .

$y = x$

Paso 3