Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} - 4 x + 1$ at $(2, - 3)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 2$ y $y = - 3$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.2.3

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$2 x - 4 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.3.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x - 4 + 0$

Paso 1.3.2

Suma $2 x - 4$ y $0$ .

$2 x - 4$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = 2$ .

$2 (2) - 4$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 - 4$

Paso 1.5.2

Resta $4$ de $4$ .

$0$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $0$ y un punto dado $(2, - 3)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 3) = 0 \cdot (x - (2))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 3 = 0 \cdot (x - 2)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Multiplica $0$ por $x - 2$ .

$y + 3 = 0$

Paso 2.3.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 3$

Paso 3