Cálculo Ejemplos

$y = x^{3} e^{- x}$ , $(1, \frac{1}{e})$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = \frac{1}{e}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = e^{- x}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$x^{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$x^{3} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.3.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$x^{3} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.3.3.3

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2})$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Reordena los términos.

$- e^{- x} x^{3} + 3 e^{- x} x^{2}$

Paso 1.4.2

Reordena los factores en $- e^{- x} x^{3} + 3 e^{- x} x^{2}$ .

$- x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x}$

Paso 1.5

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$- {(1)}^{3} e^{- (1)} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 1 \cdot 1 e^{- (1)} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

Paso 1.6.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 e^{- (1)} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

Paso 1.6.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 e^{- 1} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

Paso 1.6.1.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 1 \frac{1}{e} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

Paso 1.6.1.5

Reescribe $- 1 \frac{1}{e}$ como $- \frac{1}{e}$ .

$- \frac{1}{e} + 3 {(1)}^{2} e^{- (1)}$

Paso 1.6.1.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{1}{e} + 3 \cdot 1 e^{- (1)}$

Paso 1.6.1.7

Multiplica $3$ por $1$ .

$- \frac{1}{e} + 3 e^{- (1)}$

Paso 1.6.1.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{e} + 3 e^{- 1}$

Paso 1.6.1.9

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e} + 3 \frac{1}{e}$

Paso 1.6.1.10

Combina $3$ y $\frac{1}{e}$ .

$- \frac{1}{e} + \frac{3}{e}$

Paso 1.6.2

Combina fracciones.

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Paso 1.6.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 1 + 3}{e}$

Paso 1.6.2.2

Suma $- 1$ y $3$ .

$\frac{2}{e}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{2}{e}$ y un punto dado $(1, \frac{1}{e})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{e}) = \frac{2}{e} \cdot (x - (1))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{1}{e} = \frac{2}{e} \cdot (x - 1)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 2.3.1.1

Resta $\frac{2}{e} \cdot (x - 1)$ de ambos lados de la ecuación.

$y - \frac{1}{e} - \frac{2}{e} \cdot (x - 1) = 0$

Paso 2.3.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y - \frac{1}{e} - \frac{2}{e} x - \frac{2}{e} \cdot - 1 = 0$

Paso 2.3.1.2.2

Combina $x$ y $\frac{2}{e}$ .

$y - \frac{1}{e} - \frac{x \cdot 2}{e} - \frac{2}{e} \cdot - 1 = 0$

Paso 2.3.1.2.3

Multiplica $- \frac{2}{e} \cdot - 1$ .

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Paso 2.3.1.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y - \frac{1}{e} - \frac{x \cdot 2}{e} + 1 \frac{2}{e} = 0$

Paso 2.3.1.2.3.2

Multiplica $\frac{2}{e}$ por $1$ .

$y - \frac{1}{e} - \frac{x \cdot 2}{e} + \frac{2}{e} = 0$

Paso 2.3.1.2.4

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$y - \frac{1}{e} - \frac{2 x}{e} + \frac{2}{e} = 0$

Paso 2.3.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y + \frac{- 1 - 2 x + 2}{e} = 0$

Paso 2.3.1.4

Suma $- 1$ y $2$ .

$y + \frac{- 2 x + 1}{e} = 0$

Paso 2.3.1.5

Para escribir $y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e}{e}$ .

$\frac{y e}{e} + \frac{- 2 x + 1}{e} = 0$

Paso 2.3.1.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y e - 2 x + 1}{e} = 0$

Paso 2.3.2

Establece el numerador igual a cero.

$y e - 2 x + 1 = 0$

Paso 2.3.3

Resuelve la ecuación en $y$ .

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Paso 2.3.3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.3.1.1

Suma $2 x$ a ambos lados de la ecuación.

$y e + 1 = 2 x$

Paso 2.3.3.1.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y e = 2 x - 1$

Paso 2.3.3.2

Divide cada término en $y e = 2 x - 1$ por $e$ y simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Divide cada término en $y e = 2 x - 1$ por $e$ .

$\frac{y e}{e} = \frac{2 x}{e} + \frac{- 1}{e}$

Paso 2.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $e$ .

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Paso 2.3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y e}{e} = \frac{2 x}{e} + \frac{- 1}{e}$

Paso 2.3.3.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{2 x}{e} + \frac{- 1}{e}$

Paso 2.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{2 x}{e} - \frac{1}{e}$

Paso 2.3.4

Reordena los términos.

$y = \frac{2}{e} x - \frac{1}{e}$

Paso 3