Cálculo Ejemplos

$y = 6 \sin (x)$ at the point $(\frac{π}{6}, 3)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = \frac{π}{6}$ y $y = 3$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$6 \cos (x)$

Paso 1.3

Evalúa la derivada en $x = \frac{π}{6}$ .

$6 \cos (\frac{π}{6})$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

El valor exacto de $\cos (\frac{π}{6})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 1.4.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.4.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$2 (3) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 1.4.2.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot 3 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$3 \sqrt{3}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $3 \sqrt{3}$ y un punto dado $(\frac{π}{6}, 3)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = 3 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 3 = 3 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $3 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 3 = 0 + 0 + 3 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{6})$

Paso 2.3.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 3 = 3 \sqrt{3} x + 3 \sqrt{3} (- \frac{π}{6})$

Paso 2.3.1.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.1.2.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{6}$ al numerador.

$y - 3 = 3 \sqrt{3} x + 3 \sqrt{3} \frac{- π}{6}$

Paso 2.3.1.2.2.2

Factoriza $3$ de $3 \sqrt{3}$ .

$y - 3 = 3 \sqrt{3} x + 3 (\sqrt{3}) \frac{- π}{6}$

Paso 2.3.1.2.2.3

Factoriza $3$ de $6$ .

$y - 3 = 3 \sqrt{3} x + 3 (\sqrt{3}) \frac{- π}{3 (2)}$

Paso 2.3.1.2.2.4

Cancela el factor común.

$y - 3 = 3 \sqrt{3} x + 3 \sqrt{3} \frac{- π}{3 \cdot 2}$

Paso 2.3.1.2.2.5

Reescribe la expresión.

$y - 3 = 3 \sqrt{3} x + \sqrt{3} \frac{- π}{2}$

Paso 2.3.1.2.3

Combina $\sqrt{3}$ y $\frac{- π}{2}$ .

$y - 3 = 3 \sqrt{3} x + \frac{\sqrt{3} (- π)}{2}$

Paso 2.3.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.3.1

Factoriza el negativo.

$y - 3 = 3 \sqrt{3} x + \frac{- \sqrt{3} π}{2}$

Paso 2.3.1.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - 3 = 3 \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π}{2}$

Paso 2.3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 3 \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π}{2} + 3$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$y = 3 \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Paso 2.3.3.2

Combina $3$ y $\frac{2}{2}$ .

$y = 3 \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Paso 2.3.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = 3 \sqrt{3} x + \frac{- \sqrt{3} π + 3 \cdot 2}{2}$

Paso 2.3.3.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$y = 3 \sqrt{3} x + \frac{- \sqrt{3} π + 6}{2}$

Paso 2.3.3.5

Factoriza $- 1$ de $- \sqrt{3} π$ .

$y = 3 \sqrt{3} x + \frac{- (\sqrt{3} π) + 6}{2}$

Paso 2.3.3.6

Reescribe $6$ como $- 1 (- 6)$ .

$y = 3 \sqrt{3} x + \frac{- (\sqrt{3} π) - 1 (- 6)}{2}$

Paso 2.3.3.7

Factoriza $- 1$ de $- (\sqrt{3} π) - 1 (- 6)$ .

$y = 3 \sqrt{3} x + \frac{- (\sqrt{3} π - 6)}{2}$

Paso 2.3.3.8

Reescribe $- (\sqrt{3} π - 6)$ como $- 1 (\sqrt{3} π - 6)$ .

$y = 3 \sqrt{3} x + \frac{- 1 (\sqrt{3} π - 6)}{2}$

Paso 2.3.3.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = 3 \sqrt{3} x - \frac{\sqrt{3} π - 6}{2}$

Paso 3