Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$ , $(π, - 1)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = π$ y $y = - 1$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 1 + \sin (x)$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)] - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 1.2.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 1.2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 1.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 1.4

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 1.5

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 1.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 1.7

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - (1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}$

Paso 1.8

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - (1 + \sin (x)) (- \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Paso 1.9

Multiplica.

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Paso 1.9.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 (1 + \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 1.9.2

Multiplica $1 + \sin (x)$ por $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + (1 + \sin (x)) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 1.10

Simplifica.

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Paso 1.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 1.10.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.10.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.10.2.1.1

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 1.10.2.1.2

Multiplica $\sin (x) \sin (x)$ .

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Paso 1.10.2.1.2.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 1.10.2.1.2.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 1.10.2.1.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (x)}$

Paso 1.10.2.1.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 1.10.2.2

Mueve $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 1.10.2.3

Reorganiza los términos.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 1.10.2.4

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Paso 1.11

Evalúa la derivada en $x = π$ .

$\frac{1 + \sin (π)}{\cos^{2} (π)}$

Paso 1.12

Simplifica.

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Paso 1.12.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.12.1.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante.

$\frac{1 + \sin (0)}{\cos^{2} (π)}$

Paso 1.12.1.2

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$\frac{1 + 0}{\cos^{2} (π)}$

Paso 1.12.1.3

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (π)}$

Paso 1.12.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.12.2.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque el coseno es negativo en el segundo cuadrante.

$\frac{1}{{(- \cos (0))}^{2}}$

Paso 1.12.2.2

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{{(- 1 \cdot 1)}^{2}}$

Paso 1.12.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Paso 1.12.2.4

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{1}$

Paso 1.12.3

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 1.12.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{1}$

Paso 1.12.3.2

Reescribe la expresión.

$1$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $1$ y un punto dado $(π, - 1)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = 1 \cdot (x - (π))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 1 = 1 \cdot (x - π)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Multiplica $x - π$ por $1$ .

$y + 1 = x - π$

Paso 2.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = x - π - 1$

Paso 3