Cálculo Ejemplos

$x^{2} = y^{3}$ ; $(64, 16)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 64$ y $y = 16$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2}) = \frac{d}{d x} (y^{3})$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x$

Paso 1.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 1.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 y^{2} y'$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 x = 3 y^{2} y'$

Paso 1.5

Resuelve $y'$

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Paso 1.5.1

Reescribe la ecuación como $3 y^{2} y' = 2 x$ .

$3 y^{2} y' = 2 x$

Paso 1.5.2

Divide cada término en $3 y^{2} y' = 2 x$ por $3 y^{2}$ y simplifica.

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Paso 1.5.2.1

Divide cada término en $3 y^{2} y' = 2 x$ por $3 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Paso 1.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Paso 1.5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Paso 1.5.2.2.2

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Paso 1.5.2.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 64$ y $y = 16$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $64$ en la expresión.

$\frac{2 (64)}{3 y^{2}}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $16$ en la expresión.

$\frac{2 (64)}{3 {(16)}^{2}}$

Paso 1.7.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.7.3.1

Multiplica $2$ por $64$ .

$\frac{128}{3 \cdot 16^{2}}$

Paso 1.7.3.2

Eleva $16$ a la potencia de $2$ .

$\frac{128}{3 \cdot 256}$

Paso 1.7.3.3

Multiplica $3$ por $256$ .

$\frac{128}{768}$

Paso 1.7.4

Cancela el factor común de $128$ y $768$ .

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Paso 1.7.4.1

Factoriza $128$ de $128$ .

$\frac{128 (1)}{768}$

Paso 1.7.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.7.4.2.1

Factoriza $128$ de $768$ .

$\frac{128 \cdot 1}{128 \cdot 6}$

Paso 1.7.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{128 \cdot 1}{128 \cdot 6}$

Paso 1.7.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{6}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{1}{6}$ y un punto dado $(64, 16)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (16) = \frac{1}{6} \cdot (x - (64))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 16 = \frac{1}{6} \cdot (x - 64)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{1}{6} \cdot (x - 64)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 16 = 0 + 0 + \frac{1}{6} \cdot (x - 64)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 16 = \frac{1}{6} \cdot (x - 64)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 16 = \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 64$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{1}{6}$ y $x$ .

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 64$

Paso 2.3.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.1.5.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{1}{2 (3)} \cdot - 64$

Paso 2.3.1.5.2

Factoriza $2$ de $- 64$ .

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 32)$

Paso 2.3.1.5.3

Cancela el factor común.

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 32)$

Paso 2.3.1.5.4

Reescribe la expresión.

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3} \cdot - 32$

Paso 2.3.1.6

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 32$ .

$y - 16 = \frac{x}{6} + \frac{- 32}{3}$

Paso 2.3.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - 16 = \frac{x}{6} - \frac{32}{3}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $16$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{x}{6} - \frac{32}{3} + 16$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $16$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{32}{3} + 16 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 2.3.2.3

Combina $16$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{32}{3} + \frac{16 \cdot 3}{3}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 32 + 16 \cdot 3}{3}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $16$ por $3$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 32 + 48}{3}$

Paso 2.3.2.5.2

Suma $- 32$ y $48$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{16}{3}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{6} x + \frac{16}{3}$

Paso 3