Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x + 9}$ at the point where $x = 0$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = 0$ .

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Paso 1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$y = \sqrt{(0) + 9}$

Paso 1.2

Simplifica $\sqrt{(0) + 9}$ .

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Paso 1.2.1

Suma $0$ y $9$ .

$y = \sqrt{9}$

Paso 1.2.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$y = \sqrt{3^{2}}$

Paso 1.2.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = 3$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 0$ y $y = 3$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 9}$ como ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x + 9$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 9]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 9$ .

$\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Paso 2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Paso 2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Paso 2.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Paso 2.7

Combina fracciones.

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Paso 2.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(x + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Paso 2.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Paso 2.7.3

Mueve ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Paso 2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [9])$

Paso 2.10

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

Paso 2.11

Simplifica la expresión.

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Paso 2.11.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Paso 2.11.2

Multiplica $\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.12

Evalúa la derivada en $x = 0$ .

$\frac{1}{2 {((0) + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.13

Simplifica.

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Paso 2.13.1

Simplifica el denominador.

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Paso 2.13.1.1

Suma $0$ y $9$ .

$\frac{1}{2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.13.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.13.1.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 2.13.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.13.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 2.13.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2 \cdot 3^{1}}$

Paso 2.13.1.5

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{2 \cdot 3}$

Paso 2.13.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{1}{6}$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $\frac{1}{6}$ y un punto dado $(0, 3)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{1}{6} \cdot (x - (0))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x + 0)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $\frac{1}{6} \cdot (x + 0)$ .

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Paso 3.3.1.1

Suma $x$ y $0$ .

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot x$

Paso 3.3.1.2

Combina $\frac{1}{6}$ y $x$ .

$y - 3 = \frac{x}{6}$

Paso 3.3.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{x}{6} + 3$

Paso 3.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{6} x + 3$

Paso 4