Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} {(3 - x)}^{2}$ ; $x = 1$

Paso 1

Obtén el valor de $y$ correspondiente a $x = 1$ .

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Paso 1.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$y = {(1)}^{4} {(3 - (1))}^{2}$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 1^{4} {(3 - (1))}^{2}$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = {(1)}^{4} {(3 - (1))}^{2}$

Paso 1.2.3

Simplifica ${(1)}^{4} {(3 - (1))}^{2}$ .

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Paso 1.2.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = 1 {(3 - (1))}^{2}$

Paso 1.2.3.2

Multiplica ${(3 - (1))}^{2}$ por $1$ .

$y = {(3 - (1))}^{2}$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$y = {(3 - 1)}^{2}$

Paso 1.2.3.4

Resta $1$ de $3$ .

$y = 2^{2}$

Paso 1.2.3.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = 4$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 1$ y $y = 4$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Reescribe ${(3 - x)}^{2}$ como $(3 - x) (3 - x)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((3 - x) (3 - x))]$

Paso 2.2

Expande $(3 - x) (3 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (3 (3 - x) - x (3 - x))]$

Paso 2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (3 \cdot 3 + 3 (- x) - x (3 - x))]$

Paso 2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (3 \cdot 3 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x))]$

Paso 2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x))]$

Paso 2.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - x \cdot 3 - x (- x))]$

Paso 2.3.1.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - x (- x))]$

Paso 2.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x)]$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1.5.1

Mueve $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x))]$

Paso 2.3.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x^{2})]$

Paso 2.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x + 1 x^{2})]$

Paso 2.3.1.7

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 3 x - 3 x + x^{2})]$

Paso 2.3.2

Resta $3 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (9 - 6 x + x^{2})]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = 9 - 6 x + x^{2}$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [9 - 6 x + x^{2}] + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.5

Diferencia.

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Paso 2.5.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 - 6 x + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.5.2

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.5.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.5.4

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (- 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.5.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{4} (- 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.5.6

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$x^{4} (- 6 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.5.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{4} (- 6 + 2 x) + (9 - 6 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 2.5.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$x^{4} (- 6 + 2 x) + (9 - 6 x + x^{2}) (4 x^{3})$

Paso 2.5.9

Mueve $4$ a la izquierda de $9 - 6 x + x^{2}$ .

$x^{4} (- 6 + 2 x) + 4 \cdot (9 - 6 x + x^{2}) x^{3}$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{4} \cdot - 6 + x^{4} (2 x) + 4 (9 - 6 x + x^{2}) x^{3}$

Paso 2.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{4} \cdot - 6 + x^{4} (2 x) + (4 \cdot 9 + 4 (- 6 x) + 4 x^{2}) x^{3}$

Paso 2.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{4} \cdot - 6 + x^{4} (2 x) + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Paso 2.6.4

Combina los términos.

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Paso 2.6.4.1

Mueve $- 6$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$- 6 \cdot x^{4} + x^{4} (2 x) + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Paso 2.6.4.2

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.6.4.2.1

Mueve $x$ .

$- 6 x^{4} + x \cdot x^{4} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Paso 2.6.4.2.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

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Paso 2.6.4.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 6 x^{4} + x^{1} x^{4} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Paso 2.6.4.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 6 x^{4} + x^{1 + 4} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Paso 2.6.4.2.3

Suma $1$ y $4$ .

$- 6 x^{4} + x^{5} \cdot 2 + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Paso 2.6.4.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{5}$ .

$- 6 x^{4} + 2 \cdot x^{5} + 4 \cdot 9 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Paso 2.6.4.4

Multiplica $4$ por $9$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} + 4 (- 6 x) x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Paso 2.6.4.5

Multiplica $- 6$ por $4$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x \cdot x^{3} + 4 x^{2} x^{3}$

Paso 2.6.4.6

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.6.4.6.1

Mueve $x^{3}$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 (x^{3} x) + 4 x^{2} x^{3}$

Paso 2.6.4.6.2

Multiplica $x^{3}$ por $x$ .

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Paso 2.6.4.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 (x^{3} x^{1}) + 4 x^{2} x^{3}$

Paso 2.6.4.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{3 + 1} + 4 x^{2} x^{3}$

Paso 2.6.4.6.3

Suma $3$ y $1$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 x^{2} x^{3}$

Paso 2.6.4.7

Multiplica $x^{2}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.6.4.7.1

Mueve $x^{3}$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2})$

Paso 2.6.4.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 x^{3 + 2}$

Paso 2.6.4.7.3

Suma $3$ y $2$ .

$- 6 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} - 24 x^{4} + 4 x^{5}$

Paso 2.6.4.8

Resta $24 x^{4}$ de $- 6 x^{4}$ .

$- 30 x^{4} + 2 x^{5} + 36 x^{3} + 4 x^{5}$

Paso 2.6.4.9

Suma $2 x^{5}$ y $4 x^{5}$ .

$- 30 x^{4} + 6 x^{5} + 36 x^{3}$

Paso 2.6.5

Reordena los términos.

$6 x^{5} - 30 x^{4} + 36 x^{3}$

Paso 2.7

Evalúa la derivada en $x = 1$ .

$6 {(1)}^{5} - 30 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3}$

Paso 2.8

Simplifica.

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Paso 2.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.8.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$6 \cdot 1 - 30 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3}$

Paso 2.8.1.2

Multiplica $6$ por $1$ .

$6 - 30 {(1)}^{4} + 36 {(1)}^{3}$

Paso 2.8.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$6 - 30 \cdot 1 + 36 {(1)}^{3}$

Paso 2.8.1.4

Multiplica $- 30$ por $1$ .

$6 - 30 + 36 {(1)}^{3}$

Paso 2.8.1.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$6 - 30 + 36 \cdot 1$

Paso 2.8.1.6

Multiplica $36$ por $1$ .

$6 - 30 + 36$

Paso 2.8.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.8.2.1

Resta $30$ de $6$ .

$- 24 + 36$

Paso 2.8.2.2

Suma $- 24$ y $36$ .

$12$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $12$ y un punto dado $(1, 4)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = 12 \cdot (x - (1))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 4 = 12 \cdot (x - 1)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $12 \cdot (x - 1)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - 4 = 0 + 0 + 12 \cdot (x - 1)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 4 = 12 \cdot (x - 1)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 4 = 12 x + 12 \cdot - 1$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $12$ por $- 1$ .

$y - 4 = 12 x - 12$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 12 x - 12 + 4$

Paso 3.3.2.2

Suma $- 12$ y $4$ .

$y = 12 x - 8$

Paso 4